ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 785 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите нули функции:
а) y=5x-x^3;
б) y=2x^3-6x^2-8x;
в) y=x^3-x^2-x+1;
г) y=x^3-x^2+x-1;
д) y=8x^4-125x;
е) y=2x^5+54x^2.

а) $y = 5x — x^3$, $y = 0$;
$5x — x^3 = 0$
$x(5 — x^2) = 0$
$x = 0$, $x^2 = 5$
$x = \pm \sqrt{5}$.
Ответ: $x = \pm \sqrt{5}$; $x = 0$ — нули функции.

б) $y = 2x^3 — 6x^2 — 8x$, $y = 0$;
$2x^3 — 6x^2 — 8x = 0$
$2x(x^2 — 3x — 4) = 0$
$x^2 — 3x — 4 = 0$, $2x = 0$
$D = 9 + 4 \cdot 4 = 25$.
$x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1$;
$x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$.
Ответ: $x = -1$; $x = 0$; $x = 4$ — нули функции.

в) $y = x^3 — x^2 — x + 1$, $y = 0$;
$x^3 — x^2 — x + 1 = 0$
$x^2(x — 1) — (x — 1) = 0$
$(x — 1)(x^2 — 1) = 0$
$x = 1$, $x^2 = 1$
$x = \pm 1$.
Ответ: $x = \pm 1$ — нули функции.

г) $y = x^3 — x^2 + x — 1$, $y = 0$;
$x^3 — x^2 + x — 1 = 0$
$x^2(x — 1) + (x — 1) = 0$
$(x — 1)(x^2 + 1) = 0$
$x = 1$, $x^2 = -1$ — нет решений.
Ответ: $x = 1$ — нули функции.

д) $y = 8x^4 — 125x$, $y = 0$;
$8x^4 — 125x = 0$
$x(8x^3 — 125) = 0$
$x = 0$, $8x^3 = 125$
$x^3 = \frac{125}{8}$
$x = \frac{5}{2} = 2.5$.
Ответ: $x = 0$; $x = 2.5$ — нули функции.

е) $y = 2x^5 + 54x^2$, $y = 0$;
$2x^5 + 54x^2 = 0$
$2x^2(x^3 + 27) = 0$
$2x^2 = 0$, $x^3 = -27$
$x = 0$, $x = -3$.
Ответ: $x = -3$; $x = 0$ — нули функции.

а) Рассмотрим функцию $f(x) = 5x — x^3$ и найдем её нули. Для этого приравняем функцию к нулю:

$$5x — x^3 = 0$$

Выносим $x$ за скобки:

$$x(5 — x^2) = 0$$

Теперь у нас есть два множителя, и для того чтобы их произведение было равно нулю, хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Таким образом, нужно решить два уравнения:

$x = 0$

$5 — x^2 = 0$

Решим второе уравнение:

$$5 — x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 5 \Rightarrow x = \pm \sqrt{5}$$

Таким образом, нули функции находятся при $x = 0$, $x = \sqrt{5}$, и $x = -\sqrt{5}$. Это означает, что график функции пересекает ось $x$ в точках $(0; 0)$, $(\sqrt{5}; 0)$, и $(-\sqrt{5}; 0)$.

Ответ: $x = \pm \sqrt{5}$; $x = 0$ — нули функции.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = 2x^3 — 6x^2 — 8x$. Для того чтобы найти её нули, приравняем функцию к нулю:

$$2x^3 — 6x^2 — 8x = 0$$

Вынесем общий множитель $2x$:

$$2x(x^2 — 3x — 4) = 0$$

Теперь, чтобы решить это уравнение, приравняем каждый множитель к нулю:

$2x = 0 \Rightarrow x = 0$

$x^2 — 3x — 4 = 0$

Решим квадратное уравнение $x^2 — 3x — 4 = 0$ с использованием формулы для решения квадратных уравнений:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

Где $a = 1$, $b = -3$, $c = -4$. Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

Теперь находим корни:

$$x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$$

Таким образом, нули функции находятся при $x = 0$, $x = -1$, и $x = 4$.

Ответ: $x = -1$; $x = 0$; $x = 4$ — нули функции.

в) Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 — x^2 — x + 1$. Для того чтобы найти её нули, приравняем её к нулю:

$$x^3 — x^2 — x + 1 = 0$$

Для того чтобы решить это уравнение, сгруппируем его:

$$x^2(x — 1) — (x — 1) = 0$$

Вынесем общий множитель $(x — 1)$:

$$(x — 1)(x^2 — 1) = 0$$

Теперь, чтобы решить это уравнение, приравняем каждый множитель к нулю:

$x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

$x^2 — 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$

Таким образом, нули функции находятся при $x = 1$, $x = -1$, и $x = 1$. Однако, $x = 1$ уже найдено, и второй корень будет $x = -1$.

Ответ: $x = \pm 1$ — нули функции.

г) Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 — x^2 + x — 1$. Приравняем её к нулю:

$$x^3 — x^2 + x — 1 = 0$$

Сгруппируем её:

$$x^2(x — 1) + (x — 1) = 0$$

Вынесем общий множитель $(x — 1)$:

$$(x — 1)(x^2 + 1) = 0$$

Теперь приравняем каждый множитель к нулю:

$x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

$x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1$

Так как $x^2 = -1$ не имеет решений в области действительных чисел, то второй множитель не имеет решений.

Таким образом, единственный корень функции — это $x = 1$.

Ответ: $x = 1$ — нули функции.

д) Рассмотрим функцию $f(x) = 8x^4 — 125x$. Для нахождения её нулей приравняем функцию к нулю:

$$8x^4 — 125x = 0$$

Вынесем общий множитель $x$:

$$x(8x^3 — 125) = 0$$

Теперь приравняем каждый множитель к нулю:

$x = 0$

$8x^3 — 125 = 0 \Rightarrow 8x^3 = 125 \Rightarrow x^3 = \frac{125}{8} \Rightarrow x = \frac{5}{2} = 2.5$

Таким образом, нули функции находятся при $x = 0$ и $x = 2.5$.

Ответ: $x = 0$; $x = 2.5$ — нули функции.

е) Рассмотрим функцию $f(x) = 2x^5 + 54x^2$. Для нахождения её нулей приравняем функцию к нулю:

$$2x^5 + 54x^2 = 0$$

Вынесем общий множитель $2x^2$:

$$2x^2(x^3 + 27) = 0$$

Теперь приравняем каждый множитель к нулю:

$2x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$

$x^3 + 27 = 0 \Rightarrow x^3 = -27 \Rightarrow x = -3$

Таким образом, нули функции находятся при $x = 0$ и $x = -3$.

Ответ: $x = -3$; $x = 0$ — нули функции.