ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 784 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Начертите график какой-нибудь функции, обладающей следующими свойствами:
а) при x > =-1 функция возрастает, а при x < =-1 функция убывает; нулями функции являются числа -2 и 1;
б) функция возрастает при x < =2 и при 5 < =x < =7; убывает при 2 < =x < =5 и при x > =7; при x=2 она принимает наибольшее значение;
в) Значения функции положительны при x < -3 и при x > 5; отрицательны при -3 < x < 5; при x=0 она принимает наименьшее значение.

а) Функция возрастает при $x \geq -1$;
функция убывает при $x \leq -1$;
$f(x) = 0$, при $x = -2$ и $x = 1$;

б) Функция возрастает при $x \leq 2$ и $5 \leq x \leq 7$;
функция убывает при $2 \leq x \leq 5$ и $x \geq 7$;
$y_{\text{наиб}}$ при $x = 2$;

в) $y > 0$ при $x \leq -3$ и $x > 5$;
$y < 0$ при $-3 < x < 5$;
$y_{\text{наим}}$ при $x = 0$;

а) Рассмотрим функцию $f(x)$, которая возрастает при $x \geq -1$, убывает при $x \leq -1$. Задано, что $f(x) = 0$ при $x = -2$ и $x = 1$.

Для анализа поведения функции на различных интервалах нам необходимо рассмотреть её производную, которая определяет, на каких участках функция возрастает или убывает.

1) Анализ функции на интервалах:

Функция возрастает на интервале $x \geq -1$, что означает, что производная функции на этом интервале положительна. Чтобы это выяснить, рассмотрим производную функции $f'(x)$. Если $f'(x) > 0$, то функция возрастает на этом интервале.

На интервале $x \leq -1$ функция убывает, то есть её производная отрицательна: $f'(x) < 0$.

2) Нули функции:

Для нахождения нулей функции приравняем её к нулю и решим уравнение:

$$f(x) = 0$$

Из условия задачи известно, что $f(x) = 0$ при $x = -2$ и $x = 1$, то есть график функции пересекает ось $x$ в этих точках.

Ответ:
Функция возрастает при $x \geq -1$;
функция убывает при $x \leq -1$;
$f(x) = 0$, при $x = -2$ и $x = 1$.

б) Рассмотрим функцию $f(x)$, которая возрастает при $x \leq 2$ и $5 \leq x \leq 7$, убывает при $2 \leq x \leq 5$ и $x \geq 7$. Также известно, что $y_{\text{наиб}}$ при $x = 2$.

1) Анализ функции на интервалах:

Для анализа поведения функции на различных интервалах рассмотрим её производную $f'(x)$:

• Если производная положительна $f'(x) > 0$, то функция возрастает на этом интервале.
• Если производная отрицательна $f'(x) < 0$, то функция убывает на этом интервале.

На интервале $x \leq 2$, функция возрастает, так как производная положительна.

На интервале $2 \leq x \leq 5$, функция убывает, так как производная отрицательна.

На интервале $5 \leq x \leq 7$, функция снова возрастает, так как производная положительна.

На интервале $x \geq 7$, функция убывает, так как производная отрицательна.

2) Наибольшее значение функции:

Из условия задачи известно, что $y_{\text{наиб}}$ при $x = 2$. Это означает, что точка $x = 2$ является точкой максимума на интервале $(-\infty; 2]$, и функция достигает наибольшего значения в этой точке.

Ответ:
Функция возрастает при $x \leq 2$ и $5 \leq x \leq 7$;
функция убывает при $2 \leq x \leq 5$ и $x \geq 7$;
$y_{\text{наиб}}$ при $x = 2$.

в) Рассмотрим функцию $f(x)$, для которой известно, что $y > 0$ при $x \leq -3$ и $x > 5$, $y < 0$ при $-3 < x < 5$, и $y_{\text{наим}}$ при $x = 0$.

1) Анализ знаков функции:

Для анализа знаков функции рассмотрим её значения на различных интервалах:

• При $x \leq -3$, функция $f(x)$ положительна, так как $y > 0$.
• При $-3 < x < 5$, функция $f(x)$ отрицательна, так как $y < 0$.
• При $x > 5$, функция снова положительна, так как $y > 0$.

2) Наименьшее значение функции:

Из условия задачи известно, что функция достигает наименьшего значения при $x = 0$. Это означает, что точка $x = 0$ является точкой минимума функции на интервале $(-3; 5)$, и функция достигает наименьшего значения $y_{\text{наим}}$ в этой точке.

Ответ:
$y > 0$ при $x \leq -3$ и $x > 5$;
$y < 0$ при $-3 < x < 5$;
$y_{\text{наим}}$ при $x = 0$.