ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 779 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Нулями функции f(x)=2x^3-5x^2-28x+15 являются числа -3; 5; 0,5. Убедитесь в справедливости этого утверждения. Сформулируйте этот факт другими способами, используя слова «график», «значение функции», «уравнение».

$f(x) = 2x^3 — 5x^2 — 28x + 15$;
$f(-3) = 2 \cdot (-3)^3 — 5 \cdot (-3)^2 — 28 \cdot (-3) + 15 =$
$= 2 \cdot (-27) — 5 \cdot 9 + 84 + 15 = -54 — 45 + 99 + 15 = 0$ — верно;
$f(5) = 2 \cdot 5^3 — 5 \cdot 5^2 — 28 \cdot 5 + 15 = 2 \cdot 125 — 5 \cdot 25 — 140 + 15 =$
$= 250 — 125 — 140 + 15 = 0$ — верно.
$f(0.5) = 2 \cdot 0.5^3 — 5 \cdot 0.5^2 — 28 \cdot 0.5 + 15 =$
$= 2 \cdot 0.125 — 5 \cdot 0.25 — 14 + 15 = 0.25 — 1.25 + 1 = 0$ — верно.
График пересекает ось $x$ в точках $(-3; 0)$, $(5; 0)$, $(0.5; 0)$.
Значение функции равно 0 при $x$, равных $-3$, $5$, $0.5$.
Числа $-3$, $5$, $0.5$ являются корнями уравнения
$2x^3 — 5x^2 — 28x + 15 = 0$.

Давайте подробно рассмотрим решение для функции $f(x) = 2x^3 — 5x^2 — 28x + 15$ и анализируем её поведение на различных значениях $x$.

1) Подставим $x = -3$ в уравнение $f(x) = 2x^3 — 5x^2 — 28x + 15$:

$$f(-3) = 2 \cdot (-3)^3 — 5 \cdot (-3)^2 — 28 \cdot (-3) + 15$$

Раскроем куб и квадрат:

$$f(-3) = 2 \cdot (-27) — 5 \cdot 9 — 28 \cdot (-3) + 15$$

Теперь произведем все операции:

$$f(-3) = -54 — 45 + 84 + 15$$

Сложим все числа:

$$f(-3) = -54 — 45 + 84 + 15 = 0$$

Значит, $f(-3) = 0$, и точка $(-3; 0)$ — это точка пересечения графика функции с осью $x$.

2) Подставим $x = 5$ в уравнение $f(x) = 2x^3 — 5x^2 — 28x + 15$:

$$f(5) = 2 \cdot 5^3 — 5 \cdot 5^2 — 28 \cdot 5 + 15$$

Рассчитаем степени и произведения:

$$f(5) = 2 \cdot 125 — 5 \cdot 25 — 28 \cdot 5 + 15$$

Выполним умножение:

$$f(5) = 250 — 125 — 140 + 15$$

Теперь сложим все значения:

$$f(5) = 250 — 125 — 140 + 15 = 0$$

Значит, $f(5) = 0$, и точка $(5; 0)$ — это точка пересечения графика функции с осью $x$.

3) Подставим $x = 0.5$ в уравнение $f(x) = 2x^3 — 5x^2 — 28x + 15$:

$$f(0.5) = 2 \cdot 0.5^3 — 5 \cdot 0.5^2 — 28 \cdot 0.5 + 15$$

Выполним вычисления для степеней и произведений:

$$f(0.5) = 2 \cdot 0.125 — 5 \cdot 0.25 — 28 \cdot 0.5 + 15$$

Теперь вычислим:

$$f(0.5) = 0.25 — 1.25 — 14 + 15$$

Сложим все числа:

$$f(0.5) = 0.25 — 1.25 — 14 + 15 = 0$$

Значит, $f(0.5) = 0$, и точка $(0.5; 0)$ — это точка пересечения графика функции с осью $x$.

4) Находим корни уравнения $f(x) = 0$:

Мы выяснили, что функция $f(x) = 2x^3 — 5x^2 — 28x + 15$ равна нулю при $x = -3$, $x = 5$ и $x = 0.5$. Это означает, что эти значения $x$ являются корнями кубического уравнения:

$$2x^3 — 5x^2 — 28x + 15 = 0$$

Таким образом, $x = -3$, $x = 5$, и $x = 0.5$ — корни этого уравнения, и график функции пересекает ось $x$ в точках $(-3; 0)$, $(5; 0)$, и $(0.5; 0)$.