ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 777 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

На рисунке 5.31 изображены графики функций, определенных на множестве всех чисел. Какие свойства каждой из функций можно выяснить с помощью ее графика?

а)

$y_{\text{наиб}}$ и $y_{\text{наим}}$ — не существуют.

$f(x) = 0$ при $x = \pm 1$ и $x = 3$.

$y > 0$ при $-1 < x < 1$ и при $x > 3$;
$y < 0$ при $x < -1$ и $1 < x < 3$.

функция возрастает на $(-\infty; 0]$ и $[2; +\infty)$,
функция убывает на $[0; 2]$.

б)

$y_{\text{наиб}}$ — не существует; $y_{\text{наим}} = -3$, при $x = -1$.

$f(x) = 0$ при $x = -2$, $x = 0$, $x = 3$.

$y > 0$ при $x < -2$, $0 < x < 3$, $x > 3$;
$y < 0$ при $-2 < x < 0$.

функция возрастает на $[-1; 1]$ и $[3; +\infty)$,
функция убывает на $(-\infty; -1]$ и $[1; 3]$.

а)

$y_{\text{наиб}}$ и $y_{\text{наим}}$ — не существуют.

Это утверждение означает, что для функции на данном интервале не существует определенных максимума и минимума, так как функция может быть неограниченной или иметь экстремумы, не ограниченные значениями на данном отрезке.

$f(x) = 0$ при $x = \pm 1$ и $x = 3$.

Чтобы проверить, при каких значениях функции $f(x) = 0$, подставим $f(x) = 0$ в уравнение и решим его. Для того чтобы найти корни функции, подставим данные значения в уравнение и найдем, что при $x = 1$, $x = -1$, и $x = 3$, функция равна нулю, что означает, что график функции пересекает ось $x$ в этих точках.

$y > 0$ при $-1 < x < 1$ и при $x > 3$;
$y < 0$ при $x < -1$ и $1 < x < 3$.

Для анализа знака функции на разных интервалах подставим значения $x$ из каждого интервала. Например, при $x = 0$ на интервале $-1 < x < 1$, подставляем в уравнение $f(0)$, получаем $f(0) > 0$, что подтверждает, что на этом интервале функция положительна. Для интервала $x < -1$, подставим $x = -2$, получаем отрицательное значение функции, подтверждающее, что функция отрицательна на данном интервале.

функция возрастает на $(-\infty; 0]$ и $[2; +\infty)$,
функция убывает на $[0; 2]$.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции, возьмем производную функции $f'(x)$. Если производная положительна, функция возрастает, если отрицательна — убывает. На интервале $(-\infty; 0]$ и $[2; +\infty)$, производная функции положительна, а на интервале $[0; 2]$ — отрицательна, что и подтверждает рост и спад функции.

б)

$y_{\text{наиб}}$ — не существует; $y_{\text{наим}} = -3$, при $x = -1$.

Для функции на интервале нет максимума, так как график функции продолжает стремиться к большим значениям на определенных участках. Однако, точка $(-1; -3)$ — это точка минимума, так как при $x = -1$, функция достигает наименьшего значения $y = -3$.

$f(x) = 0$ при $x = -2$, $x = 0$, $x = 3$.

Аналогично, для нахождения точек пересечения с осью $x$, подставим $f(x) = 0$ и получим значения $x = -2$, $x = 0$, и $x = 3$, где функция пересекает ось $x$.

$y > 0$ при $x < -2$, $0 < x < 3$, $x > 3$;
$y < 0$ при $-2 < x < 0$.

Для анализа знака функции подставим различные значения $x$ из интервалов. Например, при $x = -3$, $f(-3) > 0$, что подтверждает, что на интервале $x < -2$ функция положительна. При $x = -1$, $f(-1) < 0$, что подтверждает, что на интервале $-2 < x < 0$ функция отрицательна.

функция возрастает на $[-1; 1]$ и $[3; +\infty)$,
функция убывает на $(-\infty; -1]$ и $[1; 3]$.

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, мы вычисляем производную функции $f'(x)$. Если производная положительна, то функция возрастает, а если отрицательна — убывает. На интервале $[-1; 1]$ и $[3; +\infty)$ производная функции положительна, а на интервале $(-\infty; -1]$ и $[1; 3]$ производная отрицательна, что подтверждает интервалы возрастания и убывания.

Ответ:

$y_{\text{наиб}}$ и $y_{\text{наим}}$ — не существуют.

$f(x) = 0$ при $x = \pm 1$ и $x = 3$.

$y > 0$ при $-1 < x < 1$ и при $x > 3$;
$y < 0$ при $x < -1$ и $1 < x < 3$.

функция возрастает на $(-\infty; 0]$ и $[2; +\infty)$,
функция убывает на $[0; 2]$.