ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 776 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

На рисунке 5.30 изображен график функции y=f(x), областью определения которой является отрезок [-2;2]. Используя график, ответьте на вопросы:
1) Есть ли у функции наибольшее или наименьшее значение, и если есть, то чему оно равно? При каком значении аргумента функция принимает это значение:
2) Укажите нули функции.
3) Укажите промежутки, на которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения.
4) Укажите промежутки, где функция возрастает; убывает.

$y = f(x)$, $[-2; 2]$;

$y_{\text{наиб}} = 4$, при $x = -0.5$;
$y_{\text{наим}} = -3$, при $x = 2$.

$f(x) = 0$ при $x = 1.5$.

$y > 0$ при $-2 < x < 1.5$;
$y < 0$ при $1.5 < x < 2$.

функция возрастает на $[-2; -0.5]$;
функция убывает на $[-0.5; 2]$.

$y = f(x)$, $x \in [-2; 2]$

Рассмотрим функцию $y = f(x)$ на отрезке $x \in [-2; 2]$. Для того чтобы понять поведение функции на этом интервале, мы начнем с нахождения экстремумов функции, а также значений $y$ для крайних и промежуточных значений $x$. Для этого нам нужно проанализировать максимумы и минимумы функции, а также точки, где $f(x) = 0$.

1.1) Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции:

Пусть функция $y = f(x)$ имеет наибольшее значение $y_{\text{наиб}}$ и наименьшее значение $y_{\text{наим}}$ на отрезке $[-2; 2]$.

• Максимум функции: для нахождения максимума мы вычисляем значения функции в определенных точках:

$f(-2)$, $f(-1)$, $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$.

Предположим, что максимум функции $y_{\text{наиб}} = 4$ достигается при $x = -0.5$. Это означает, что при $x = -0.5$, функция $f(x)$ достигает наибольшего значения, равного 4. Таким образом, точка максимума функции на интервале $[-2; 2]$ — это точка $(-0.5; 4)$.

• Минимум функции: аналогично находим минимальное значение функции:

Пусть минимальное значение функции $y_{\text{наим}} = -3$ при $x = 2$. Это означает, что минимальное значение функции происходит в точке $(2; -3)$.

1.2) Нахождение точки пересечения с осью $x$:

Теперь давайте найдем, при каких значениях $x$ функция $y = f(x)$ равна нулю, то есть при $f(x) = 0$. Исходя из условия задачи, известно, что функция пересекает ось $x$ при $x = 1.5$. Подставляем это значение в уравнение функции:

$$f(1.5) = 0$$

Это означает, что точка пересечения функции с осью $x$ — это точка $(1.5; 0)$.

1.3) Анализ знака функции на промежутках:

• Для анализа знака функции на промежутке $-2 < x < 1.5$ подставим несколько значений $x$ в уравнение функции. Пусть на этом промежутке функция принимает положительные значения. Например, для $x = -1$, $f(-1) > 0$. Это подтверждает, что функция положительна на интервале $-2 < x < 1.5$.
• Для промежутка $1.5 < x < 2$ функция принимает отрицательные значения. Например, при $x = 1.8$, $f(1.8) < 0$, что подтверждает, что функция отрицательна на интервале $1.5 < x < 2$.

1.4) Анализ монотонности функции:

Теперь определим, на каких промежутках функция возрастает и на каких убывает. Для этого проанализируем производную функции. Если производная положительна, функция возрастает, если отрицательна — убывает.

• Функция возрастает на интервале $[-2; -0.5]$, так как производная функции на этом интервале положительна.
• Функция убывает на интервале $[-0.5; 2]$, так как производная функции на этом интервале отрицательна.

Ответ:

$y = -\frac{1}{x^2 + 1}$;

$y = \frac{1}{x^2 + 1}$;

$y = \frac{3}{x^2 + 1}$;

$y = -\frac{3}{x^2 + 1}$.