ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 775 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) На рисунке 5.26 изображен график функции y=x^3+3x^2-x-3.
Найдите координаты точек A, B и C.
б) На рисунке 5.27 изображен график функции y=x^4-6x^2+5. Найдите координаты точек A, B, C и D.

а) $y = x^3 + 3x^2 — x — 3$;
при $x = 0$, $y = -3$, значит, $C(0; -3)$.
при $y = 0$:

$$x^3+3x^2-x-3=0$$

$$x^3 + 3x^2 — x — 3 = 0$$ $$x^2(x+3)-(x+3)=0$$

$$x^2(x + 3) — (x + 3) = 0$$ $$(x+3)(x^2-1)=0$$

$$(x + 3)(x^2 — 1) = 0$$ $$x=-3,x^2=1$$

$$x = -3, \quad x^2 = 1$$ $$x = \pm 1.$$

Значит, $A(-3; 0)$ и $B(1; 0)$.
Ответ: $A(-3; 0)$; $B(1; 0)$; $C(0; -3)$.

б) $y = x^4 — 6x^2 + 5$;
при $x = 0$, $y = 5$, значит, $D(0; 5)$.
при $y = 0$:

$$x^4-6x^2+5=0$$

$$x^4 — 6x^2 + 5 = 0$$ $$x^2(x^2-5)-(x^2-5)=0$$

$$x^2(x^2 — 5) — (x^2 — 5) = 0$$ $$(x^2-5)(x^2-1)=0$$

$$(x^2 — 5)(x^2 — 1) = 0$$ $$x^2=5,x^2=1$$

$$x^2 = 5, \quad x^2 = 1$$ $$x = \pm \sqrt{5}, \quad x = \pm 1.$$

Значит, $A(-\sqrt{5}; 0)$, $B(-1; 0)$, $C(1; 0)$.
Ответ: $A(-\sqrt{5}; 0)$; $B(-1; 0)$; $C(1; 0)$; $D(0; 5)$.

а) $y = x^3 + 3x^2 — x — 3$;

Для функции $y = x^3 + 3x^2 — x — 3$, начнем с того, что при $x = 0$, подставим $x = 0$ в уравнение:

$$y = 0^3 + 3(0)^2 — 0 — 3 = -3$$

Таким образом, при $x = 0$, $y = -3$, и точка $C(0; -3)$ лежит на графике функции.

Теперь рассмотрим, где график пересекает ось $x$. Для этого приравняем $y = 0$ и решим уравнение:

$$x^3 + 3x^2 — x — 3 = 0$$

Сначала сгруппируем выражения, чтобы упростить решение:

$$x^3+3x^2-x-3=0$$

$$x^3 + 3x^2 — x — 3 = 0$$ $$x^2(x+3)-(x+3)=0$$

$$x^2(x + 3) — (x + 3) = 0$$ $$(x + 3)(x^2 — 1) = 0$$

Теперь из полученного уравнения можно выделить два множителя:

$x + 3 = 0$, что дает $x = -3$

$x^2 — 1 = 0$, что дает $x^2 = 1$, откуда $x = \pm 1$

Таким образом, мы нашли три корня уравнения: $x = -3$, $x = 1$, и $x = -1$. Это означает, что график функции пересекает ось $x$ в точках $A(-3; 0)$ и $B(1; 0)$.

Ответ: $A(-3; 0)$; $B(1; 0)$; $C(0; -3)$.

б) $y = x^4 — 6x^2 + 5$;

Теперь рассмотрим функцию $y = x^4 — 6x^2 + 5$. Для нахождения точки пересечения с осью $y$, подставим $x = 0$ в уравнение:

$$y = 0^4 — 6(0)^2 + 5 = 5$$

Таким образом, при $x = 0$, $y = 5$, и точка $D(0; 5)$ лежит на графике функции.

Теперь решим уравнение $y = 0$, чтобы найти, где график функции пересекает ось $x$:

$$x^4 — 6x^2 + 5 = 0$$

Сделаем замену $z = x^2$, чтобы упростить уравнение:

$$z^2 — 6z + 5 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы:

$$z = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$$

$$z = \frac{6 \pm \sqrt{36 — 20}}{2}$$

$$z = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2}$$

$$z = \frac{6 \pm 4}{2}$$

Таким образом, получаем два значения для $z$:

$$z_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5, \quad z_2 = \frac{6 — 4}{2} = 1$$

Теперь возвращаемся к переменной $x$, помня, что $z = x^2$:

$x^2 = 5$, значит $x = \pm \sqrt{5}$

$x^2 = 1$, значит $x = \pm 1$

Таким образом, график функции пересекает ось $x$ в точках $A(-\sqrt{5}; 0)$, $B(-1; 0)$, и $C(1; 0)$.

Ответ: $A(-\sqrt{5}; 0)$; $B(-1; 0)$; $C(1; 0)$; $D(0; 5)$.