ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 774 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

На рисунке 5.25 изображены графики функций
y=1/(x^2+1), y=-1/(x^2+1), y=3/(x^2+1), y=-3/(x^2+1).
Для каждого графика укажите соответствующую формулу.

Так как график 1 расположен ниже оси $x$, значит, будем рассматривать графики функций $y = -\frac{1}{x^2 + 1}$ и $y = -\frac{3}{x^2 + 1}$.

Точка пересечения с осью $y$ $(0; -1)$ подходит только для функции $y = -\frac{1}{x^2 + 1}$:

$$-1 = -\frac{1}{0 + 1}$$ $$-1 = -1 \quad \text{— верно.}$$

Значит, для функции $y = -\frac{3}{x^2 + 1}$ подходит график 4, где точка пересечения с осью $y$ $(0; -3)$:

$$-3 = -\frac{3}{0 + 1}$$ $$-3 = -3 \quad \text{— верно.}$$

График 2 симметричен графику 1 относительно оси $x$, значит, функцией является $y = \frac{1}{x^2 + 1}$.

График 3 симметричен графику 4 относительно оси $x$, значит, функцией является $y = \frac{3}{x^2 + 1}$.

Ответ:

$y = -\frac{1}{x^2 + 1}$;

$y = \frac{1}{x^2 + 1}$;

$y = \frac{3}{x^2 + 1}$;

$y = -\frac{3}{x^2 + 1}$.

Так как график 1 расположен ниже оси $x$, начнем с того, что функции, чьи графики будут аналогичны графику 1, имеют отрицательные значения при $x = 0$, а также не могут пересекаться с осью $x$, так как знаменатель в данных функциях всегда положителен, а числители ограничены значениями, не достигающими нуля. Исходя из этого, будем рассматривать функции $y = -\frac{1}{x^2 + 1}$ и $y = -\frac{3}{x^2 + 1}$, чтобы подтвердить соответствие графикам.

Для функции $y = -\frac{1}{x^2 + 1}$ подставим $x = 0$ в уравнение, чтобы найти значение функции в точке пересечения с осью $y$:

$$y = -\frac{1}{0^2 + 1} = -\frac{1}{1} = -1$$

Точка пересечения с осью $y$ — это точка $(0; -1)$. Таким образом, график функции $y = -\frac{1}{x^2 + 1}$ действительно проходит через точку $(0; -1)$, что подтверждает соответствие с графиком 1.

Теперь рассмотрим функцию $y = -\frac{3}{x^2 + 1}$, подставим $x = 0$ в уравнение:

$$y = -\frac{3}{0^2 + 1} = -\frac{3}{1} = -3$$

Точка пересечения с осью $y$ для функции $y = -\frac{3}{x^2 + 1}$ — это точка $(0; -3)$. Таким образом, график функции $y = -\frac{3}{x^2 + 1}$ проходит через точку $(0; -3)$, что подтверждает соответствие с графиком 4.

Теперь, давайте рассмотрим графики 2 и 3. График 2 симметричен графику 1 относительно оси $x$. Это означает, что функция, соответствующая графику 2, должна быть положительной и иметь вид $y = \frac{1}{x^2 + 1}$, так как график 2 имеет противоположную кривизну и расположен выше оси $x$, в отличие от графика 1, который расположен ниже оси $x$. Давайте проверим:

Подставим $x = 0$ в уравнение $y = \frac{1}{x^2 + 1}$:

$$y = \frac{1}{0^2 + 1} = \frac{1}{1} = 1$$

Точка пересечения с осью $y$ для функции $y = \frac{1}{x^2 + 1}$ — это точка $(0; 1)$, что подтверждает, что график 2 соответствует функции $y = \frac{1}{x^2 + 1}$.

Аналогично, график 3 симметричен графику 4 относительно оси $x$, и, следовательно, функция, соответствующая графику 3, должна быть положительной и иметь вид $y = \frac{3}{x^2 + 1}$, так как график 3 расположен выше оси $x$, а график 4 — ниже. Подставим $x = 0$ в уравнение $y = \frac{3}{x^2 + 1}$:

$$y = \frac{3}{0^2 + 1} = \frac{3}{1} = 3$$

Точка пересечения с осью $y$ для функции $y = \frac{3}{x^2 + 1}$ — это точка $(0; 3)$, что подтверждает, что график 3 соответствует функции $y = \frac{3}{x^2 + 1}$.

Ответ:

$y = -\frac{1}{x^2 + 1}$;

$y = \frac{1}{x^2 + 1}$;

$y = \frac{3}{x^2 + 1}$;

$y = -\frac{3}{x^2 + 1}$.