ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 765 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Пересекает ли график функции ось x, и если пересекает, то в каких точках:
а) y=x^2+x-12;
б) y=x^2+x+1;
в) y=x-x^3;
г) y=x^4+1.

а) $y = x^2 + x — 12$, при $y = 0$:

$$x^2+x-12=0$$

$$x^2 + x — 12 = 0$$ $$D=1+4\cdot 12=49=\sqrt{49}=7.$$

$$D = 1 + 4 \cdot 12 = 49 = \sqrt{49} = 7.$$ $$x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3.$$

Ответ: $(-4; 0)$ и $(3; 0)$.

б) $y = x^2 + x + 1$, при $y = 0$:

$$x^2+x+1=0$$

$$x^2 + x + 1 = 0$$ $$D = 1 — 4 \cdot 1 = -3 < 0 \quad \text{— корней нет.}$$

Ответ: график не пересекает ось $x$.

в) $y = x — x^3$, при $y = 0$:

$$x-x^3=0$$

$$x — x^3 = 0$$ $$x(1-x^2)=0$$

$$x(1 — x^2) = 0$$ $$x = 0, \quad x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1.$$

Ответ: $(0; 0)$; $(-1; 0)$ и $(1; 0)$.

г) $y = x^4 + 1$, при $y = 0$:

$$x^4+1=0$$

$$x^4 + 1 = 0$$ $$x^4 = -1 \quad \text{— корней нет.}$$

Ответ: график не пересекает ось $x$.

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \text{а) }(-4;0)\text{ и }(3;0),\text{б) график не пересекает ось }x,\text{в) }(0;0),(-1;0)\text{ и }(1;0),\text{г) график не пересекает ось }x\mathrm{.}}}$$

а) $y = x^2 + x — 12$, при $y = 0$:

Уравнение: $x^2 + x — 12 = 0$. Это квадратное уравнение. Для того чтобы решить его, используем дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = 1$, $c = -12$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$

Теперь вычислим корни уравнения по формуле:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b = 1$, $D = 49$, $a = 1$:

$$x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3$$

Ответ: $(-4; 0)$ и $(3; 0)$.

б) $y = x^2 + x + 1$, при $y = 0$:

Уравнение: $x^2 + x + 1 = 0$. Для этого уравнения находим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$. Подставляем значения в формулу для дискриминанта:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 — 4 = -3$$

Так как дискриминант меньше нуля, корней нет. Это значит, что график функции не пересекает ось $x$.

Ответ: график не пересекает ось $x$.

в) $y = x — x^3$, при $y = 0$:

Уравнение: $x — x^3 = 0$. Вынесем $x$ за скобки:

$$x(1 — x^2) = 0$$

Это уравнение имеет два множителя: $x = 0$ и $1 — x^2 = 0$. Решим оба уравнения:

$x = 0$

$1 — x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$

Таким образом, получаем три корня: $x = 0$, $x = -1$, $x = 1$.

Ответ: $(0; 0)$; $(-1; 0)$ и $(1; 0)$.

г) $y = x^4 + 1$, при $y = 0$:

Уравнение: $x^4 + 1 = 0$. Переносим 1 на правую сторону:

$$x^4 = -1$$

Но так как $x^4$ всегда неотрицательно для всех $x$, у этого уравнения нет решений, так как не существует числа, возведенного в четвертую степень, которое дало бы отрицательное значение. Следовательно, корней нет.

Ответ: график не пересекает ось $x$.

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \text{а) }(-4;0)\text{ и }(3;0),\text{б) график не пересекает ось }x,\text{в) }(0;0),(-1;0)\text{ и }(1;0),\text{г) график не пересекает ось }x\mathrm{.}}}$$