ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 752 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Существуют ли значения аргумента, при которых:

а) функция $y = x^2 + 7x + 15$ принимает значение, равное 5;

б) функция $y = x^2 — 1$ принимает значение, равное $-4$;

в) функция $y = x^4 + 3x^2 — 1$ принимает значение, равное 3;

а) $y = x^2 + 7x + 15$, $y = 5$;
$5 = x^2 + 7x + 15$
$x^2 + 7x + 10 = 0$
$D = 49 — 4 \cdot 10 = 9$.
$x_1 x_2 = 10$, $x_1 + x_2 = -7$;
$x_1 = -5$, $x_2 = -2$.
Ответ: $x = -5$; $x = -2$.

б) $y = x^2 — 1$, $y = -4$;
$-4 = x^2 — 1$
$x^2 = -4 + 1$
$x^2 = -3$ — корней нет.
Ответ: не существует.

в) $y = x^4 + 3x^2 — 1$, $y = 3$;
$3 = x^4 + 3x^2 — 1$
$x^4 + 3x^2 — 4 = 0$
$x_1 x_2 = -4$, $x_1 + x_2 = -3$;
$x_1 = -4$, $x_2 = 1$.
$x^2 = -4$ — корней нет;
$x^2 = 1$
$x = \pm 1$.
Ответ: $x = \pm 1$.

г) $y = \frac{1}{3}x^3 + 1$, $y = -10$;
$-10 = \frac{1}{3}x^3 + 1$
$\frac{1}{3}x^3 = -11$
$x^3 = -33$
$x = \sqrt[3]{-33}$.
Ответ: $x = \sqrt[3]{-33}$.

а) $y = x^2 + 7x + 15$, $y = 5$;

Заменим $y$ на 5:

$$5 = x^2 + 7x + 15$$

Переносим 5 в левую часть уравнения:

$$5-5=x^2+7x+15-5$$

$$5 — 5 = x^2 + 7x + 15 — 5$$ $$0 = x^2 + 7x + 10$$

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 + 7x + 10 = 0$ с помощью дискриминанта.

Вспоминаем формулу для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = 7$, $c = 10$.

Находим дискриминант:

$$D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 — 40 = 9$$

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня. Находим их по формуле:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $a = 1$, $b = 7$, $D = 9$:

$$x_1=\frac{-7+\sqrt{9}}{2\cdot 1}=\frac{-7+3}{2}=\frac{-4}{2}=-2$$

$$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$ $$x_2 = \frac{-7 — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 — 3}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

Ответ: $x = -5$; $x = -2$.

б) $y = x^2 — 1$, $y = -4$;

Заменим $y$ на -4:

$$-4 = x^2 — 1$$

Переносим -1 в левую часть:

$$-4 + 1 = x^2 — 1 + 1$$ $$-3 = x^2$$

Получаем, что $x^2 = -3$. Но квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, поэтому корней у уравнения нет.

Ответ: не существует.

в) $y = x^4 + 3x^2 — 1$, $y = 3$;

Заменим $y$ на 3:

$$3 = x^4 + 3x^2 — 1$$

Переносим 3 в левую часть:

$$3-3=x^4+3x^2-1-3$$

$$3 — 3 = x^4 + 3x^2 — 1 — 3$$ $$0 = x^4 + 3x^2 — 4$$

Перепишем уравнение:

$$x^4 + 3x^2 — 4 = 0$$

Обозначим $z = x^2$, тогда у нас получится квадратное уравнение относительно $z$:

$$z^2 + 3z — 4 = 0$$

Находим дискриминант для этого уравнения:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

Находим корни уравнения:

$$z_1=\frac{-3+\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{-3+5}{2}=1$$

$$z_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = 1$$ $$z_2 = \frac{-3 — \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 — 5}{2} = -4$$

Вспоминаем, что $z = x^2$. Подставляем найденные значения $z$ обратно в это выражение:

$$x^2 = 1 \quad \text{или} \quad x^2 = -4$$

Из уравнения $x^2 = 1$ находим $x = \pm 1$.

Из уравнения $x^2 = -4$ корней нет, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: $x = \pm 1$.

г) $y = \frac{1}{3}x^3 + 1$, $y = -10$;

Заменим $y$ на -10:

$$-10 = \frac{1}{3}x^3 + 1$$

Переносим 1 в левую часть:

$$-10-1=\frac{1}{3}{x}^3+1-1$$

$$-10 — 1 = \frac{1}{3}x^3 + 1 — 1$$ $$-11 = \frac{1}{3}x^3$$

Умножаем обе стороны на 3, чтобы избавиться от дроби:

$$-33 = x^3$$

Из уравнения $x^3 = -33$ находим:

$$x = \sqrt[3]{-33}$$

Ответ: $x = \sqrt[3]{-33}$.