ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 739 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Число диагоналей p выпуклого многоугольника является функцией числа его вершин n. Задайте эту функцию формулой. Какова ее область определения? Заполните таблицу, в которой даны некоторые значения аргумента n и функции p. Проинтерпретируйте полученные результаты на геометрическом языке.
б) Среди учащихся восьмых классов школы провели шахматную олимпиаду, в которой каждый участник сыграл с каждым другим участником по одной партии. Число сыгранных партий r является функцией числа участников олимпиады m. Задайте эту функцию формулой. Какова область определения этой функции? Заполните таблицу. Как можно прокомментировать данные таблицы?

а) $p = \frac{n(n-3)}{2}$,
так как каждая из вершин соединяется диагональю со всеми остальными вершинами многоугольника, кроме двух соседних.

Область определения функции: $n \geq 4$ и $n$ — натуральное число.

В пятиугольнике пять диагоналей.
Если в многоугольнике 14 диагоналей, то у него 7 сторон.
В десятиугольнике 35 диагоналей.
Если в многоугольнике 54 диагонали, то у него 12 сторон.

б) $r = \frac{m(m-1)}{2}$;

Область определения функции: $m \geq 2$ и $m$ — натуральное число.

Пять участников сыграли 10 партий.
Шесть участников сыграли 15 партий.
Если было сыграно 28 партий, то было 8 участников.
Если было сыграно 55 партий, то было 11 участников.

а) Функция для количества диагоналей многоугольника

Дано, что количество диагоналей $p$ многоугольника с $n$ вершинами вычисляется по формуле:

$$p = \frac{n(n-3)}{2}.$$

Эта формула основана на том, что каждая вершина многоугольника соединяется диагональю с остальными вершинами, кроме двух соседних. Таким образом, для $n$ вершин можно провести диагонали от каждой вершины, но исключая две соседние вершины. Количество таких возможных диагоналей из каждой вершины равно $n — 3$, поскольку с соседними вершинами и с самой собой диагонали не проводятся. Умножив на количество вершин $n$, получаем общее количество диагоналей, но так как каждая диагональ считается дважды (с обеих сторон), необходимо разделить на 2.

Шаг 1: Рассчитаем количество диагоналей для различных значений $n$:

При $n = 5$ (пятиугольник):

$$p = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \times 2}{2} = 5 \text{ диагоналей}.$$

В пятиугольнике действительно 5 диагоналей.

При $n = 7$ (семигранник):

$$p = \frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = 14 \text{ диагоналей}.$$

Если в многоугольнике 14 диагоналей, то у него 7 сторон.

При $n = 10$ (десятиугольник):

$$p = \frac{10(10-3)}{2} = \frac{10 \times 7}{2} = 35 \text{ диагоналей}.$$

В десятиугольнике 35 диагоналей.

При $n = 12$ (декагон):

$$p = \frac{12(12-3)}{2} = \frac{12 \times 9}{2} = 54 \text{ диагоналей}.$$

Если в многоугольнике 54 диагонали, то у него 12 сторон.

Шаг 2: Область определения функции:

Так как количество диагоналей можно рассчитать только для многоугольников, имеющих 4 и более вершин, область определения функции: $n \geq 4$, где $n$ — натуральное число.

б) Функция для количества сыгранных партий

Дано, что количество сыгранных партий $r$ для $m$ участников можно вычислить по формуле:

$$r = \frac{m(m-1)}{2}.$$

Эта формула описывает количество возможных пар среди $m$ участников, где каждая пара играет одну партию. Количество таких пар можно вычислить по формуле сочетаний, так как из $m$ человек необходимо выбрать 2, что и дает формулу $\frac{m(m-1)}{2}$.

Шаг 1: Рассчитаем количество сыгранных партий для различных значений $m$:

При $m = 5$ участниках:

$$r = \frac{5(5-1)}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = 10 \text{ партий}.$$

Пять участников сыграли 10 партий.

При $m = 6$ участниках:

$$r = \frac{6(6-1)}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15 \text{ партий}.$$

Шесть участников сыграли 15 партий.

При $m = 8$ участниках:

$$r = \frac{8(8-1)}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \text{ партий}.$$

Если было сыграно 28 партий, то было 8 участников.

При $m = 11$ участниках:

$$r = \frac{11(11-1)}{2} = \frac{11 \times 10}{2} = 55 \text{ партий}.$$

Если было сыграно 55 партий, то было 11 участников.

Шаг 2: Область определения функции:

• Эта функция имеет область определения $m \geq 2$, где $m$ — натуральное число. Так как для одного человека сыграть партию невозможно, минимальное количество участников — 2.