ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 725 Проверьте Cебя (Тест) Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1. Какая из следующих пар чисел является решением уравнения $x^2 — y^2 = 25$?

$(6; 0)$

$(5; 0)$

$(6; 3)$

$(3; 6)$

2. Для художественной студии планируется купить коробки карандашей: часть по цене 90 р., а часть по цене 50 р. На всю покупку может быть потрачено 1300 р. Какое наибольшее число коробок с карандашами может быть куплено на эту сумму?

16

18

22

24

3. Какое из следующих уравнений не задаёт прямую?

$x — 2y — 1 = 0$

$2x + y = 0$

$2x — 7 = 0$

$2xy = 1$

4. Через какую из точек проходит прямая $3x — 8y = -25$?

$(3; 2)$

$(-3; -2)$

$(3; -2)$

$(-3; 2)$

5. Укажите уравнение прямой, проходящей через точки $A(1; 5)$ и $B(-1; 4)$.

$2x — y = -3$

$x — 2y = -9$

$x + 2y = 7$

$2x + y = 7$

6. Соотнесите каждое уравнение с его графиком:

А) $y = 2x$

Б) $y = -2x$

В) $y = -\frac{1}{2}x$

Г) $y = \frac{1}{2}x$

7. Соотнесите каждую прямую с её уравнением:

А) $x + y = -2$

Б) $x — y = 2$

В) $x + y = 2$

Г) $x — y = -2$

8. Какая прямая проходит через I, II и III координатные четверти?

$y = -3x + 5$

$y = -3x — 5$

$y = 3x — 5$

$y = 3x + 5$

9. Выберите уравнение прямой, параллельной прямой $y = 4x$ и проходящей через точку $(10; 39)$.

$y = -4x$

$y = -4x + 1$

$y = 4x + 1$

$y = 4x — 1$

10. В какой координатной четверти находится точка пересечения прямых $2x — 3y = 5$ и $x — 6y = -27$?

1. 1. в первой
   2. во второй
   3. в третьей
   4. в четвёртой

11. Определите, через какую из заданных точек проходит прямая, изображённая на рисунке.

$(6; 8)$

$(8; 12)$

$(15; 20)$

$(16; 12)$

12. Какая из пар чисел является решением системы уравнений

$$\begin{cases} x + y = -5 \\ x^2 — y^2 = 13 \end{cases}$$

$(2; -7)$

$(-5; 0)$

$(-3, 8; -1, 2)$

$(-3, 2; -1, 8)$

13. Решите систему уравнений

$$\begin{cases} 2x — 3y = 3 \\ \frac{2x}{3} + y = \frac{1}{3}. \end{cases}$$

14. В питомнике одинаковыми рядами высадили 90 ёлок. Оказалось, что число рядов на 1 меньше числа ёлок в каждом ряду. Сколько рядов и сколько ёлок в каждом ряду?
Пусть $x$ — число рядов, а $y$ — число ёлок в каждом ряду. Какая система уравнений соответствует условию задачи?

$\begin{cases} xy = 90 \\ y = x — 1 \end{cases}$

$\begin{cases} xy = 90 \\ y — x = 1 \end{cases}$

$\begin{cases} xy = 90 \\ x — y = 1 \end{cases}$

$\begin{cases} 2(x + y) = 90 \\ y — x = 1 \end{cases}$

1.

$x^2 — y^2 = 25$;

$(0; 5)$
$0^2 — 5^2 = -25 \neq 25$ — не является.

$(5; 0)$
$5^2 — 0^2 = 25$ — является.

$(6; 3)$
$6^2 — 3^2 = 36 — 9 = 27 \neq 25$ — не является.

$(3; 6)$
$3^2 — 6^2 = 9 — 36 = -27 \neq 25$ — не является.
Ответ: 2).

2.

Пусть будет куплено $x$ карандашей по 90 руб и $y$ карандашей по 50 руб.
Составим уравнение:

$$90x + 50y = 1300$$ $$50y = 1300 — 90x$$ $$y = 26 — \frac{9}{5}x.$$

при $x = 5$, $\quad y = 17$; $\quad x + y = 5 + 17 = 22$.
при $x = 10$, $\quad y = 8$; $\quad x + y = 10 + 8 = 18$.
Наибольшее число коробок — 22 шт.
Ответ: 3).

$\mathrm{3.}$

$x — 2y — 1 = 0$ — прямая;

$2x + y = 0$ — прямая;

$2x — 7 = 0$ — прямая;

$2xy = 1$ — не прямая.
Ответ: 4).

$4.$

$3x — 8y = -25$;

$(3; 2)$;
$3 \cdot 3 — 8 \cdot 2 = 9 — 16 = -5 \neq -25$ — не проходит;

$(-3; -2)$;
$3 \cdot (-3) — 8 \cdot (-2) = -9 + 16 = 7 \neq -25$ — не проходит;

$(3; -2)$;
$3 \cdot 3 — 8 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \neq -25$ — не проходит.

$(-3; 2)$;
$3 \cdot (-3) — 8 \cdot 2 = -9 — 16 = -25$ — проходит.
Ответ: 4).

5.

$2x — y = -3$;
A $(1; 5)$ → $2 \cdot 1 — 5 = -3$;
B $(-1; 4)$ → $2 \cdot (-1) — 4 = -6 \neq -3$;
Не проходит.

$x — 2y = -9$;
A $(1; 5)$ → $1 — 2 \cdot 5 = -9$;
B $(-1; 4)$ → $-1 — 2 \cdot 4 = -9$;
Проходит.

$x + 2y = 7$;
A $(1; 5)$ → $1 + 2 \cdot 5 = 11 \neq 7$;
B $(-1; 4)$ → $-1 + 2 \cdot 4 = 7$;
Не проходит.

$2x + y = 7$;
A $(1; 5)$ → $2 \cdot 1 + 5 = 7$;
B $(-1; 4)$ → $2 \cdot (-1) + 4 = 2 \neq 7$;
Не проходит.
Ответ: 2).

6.

A) $y = 2x \rightarrow 3$.
Б) $y = -2x \rightarrow 2$.
В) $y = -\frac{1}{2}x \rightarrow 4$.
Г) $y = \frac{1}{2}x \rightarrow 1$.
Ответ: A — 3; Б — 2; В — 4; Г — 1.

7.

$x + y = -2 \rightarrow y = -x — 2 \rightarrow \text{B}$.

$x — y = 2 \rightarrow y = x — 2 \rightarrow \text{Б}$.

$x + y = 2 \rightarrow y = -x + 2 \rightarrow \text{A}$.

$x — y = -2 \rightarrow y = x + 2 \rightarrow \text{Г}$.
Ответ: A — 3; Б — 2; В — 1; Г — 4.

8.

$y = -3x + 5$ — проходит через I, II и IV четверти;

$y = -3x — 5$ — проходит через II, III и IV четверти;

$y = 3x — 5$ — проходит через I, III и IV четверти;

$y = 3x + 5$ — проходит через I, II и III четверти.
Ответ: 4).

9.

Прямой $y = 4x$ параллельна прямой, при $k = 4$;
(10; 39);

$$39 = 4 \cdot 10 + l$$ $$l = 39 — 40 = -1.$$

Уравнение: $y = 4x — 1$.
Ответ: 4).

10.

$$\begin{cases} 2x — 3y = 5 \\ x — 6y = -2 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 2x — 3y = 5 \\ (2x — 12y = -4) — \end{cases}$$ $$\begin{cases} 9y = 9 \\ x — 6y = -2 \end{cases}$$ $$\begin{cases} y = 1 \\ x = -2 + 6 \cdot 1 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x = 4 \\ y = 1 \end{cases}, \quad (4; 1) \text{ — первая четверть.}$$

Ответ: 1).

11.

$y = kx + l$ — прямая проходит через точку (0; 0). Значит, она имеет вид $y = kx$.
Так же она проходит через точку (2; 1,5).

$$1,5 = 2k$$ $$k = \frac{1,5}{2} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}.$$

Уравнение: $y = \frac{3}{4}x$.

(6; 8);

$$\frac{3}{4} \cdot 6 = \frac{3 \cdot 3}{2} = 4,5 \neq 8 \text{ — не проходит;}$$

(8; 12);

$$\frac{3}{4} \cdot 8 = 3 \cdot 2 = 6 \neq 12 \text{ — не проходит;}$$

(15; 20);

$$\frac{3}{4} \cdot 15 = \frac{45}{4} = 11,25 \neq 20 \text{ — не проходит;}$$

(16; 12);

$$\frac{3}{4} \cdot 16 = 3 \cdot 4 = 12 \text{ — проходит.}$$

Ответ: 4).

12.

$$\begin{cases} x + y = -5 \\ x^2 — y^2 = 13 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x = -5 — y \\ (-5 — y)^2 — y^2 = 13 \end{cases}$$ $$25 + 10y + y^2 — y^2 = 13$$ $$10y = 13 — 25$$ $$10y = -12$$ $$y = -1,2.$$

13.

$$\begin{cases} 2x — 3y = 3 \\ \frac{2x}{3} + y = \frac{1}{3} \end{cases}$$ $$\begin{cases} 2x — 3y = 3 \\ (2x + 3y = 1) + \end{cases}$$ $$\begin{cases} 4x = 4 \\ 2x — 3y = 3 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x = 1 \\ 3y = 2 \cdot 1 — 3 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x = 1 \\ 3y = -1 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x = 1 \\ y = -\frac{1}{3}. \end{cases}$$

Ответ: $\left( 1; -\frac{1}{3} \right)$.

14.

Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} xy = 90 \\ x + 1 = y \end{cases}$$ $$\begin{cases} xy = 90 \\ y — x = 1. \end{cases}$$

Ответ: 2).

1.

$x^2 — y^2 = 25$;

$(0; 5)$:
Подставим $x = 0$ и $y = 5$ в уравнение $x^2 — y^2 = 25$:

$$0^2 — 5^2 = 0 — 25 = -25 \neq 25$$

Ответ: не является решением.

$(5; 0)$:
Подставим $x = 5$ и $y = 0$ в уравнение $x^2 — y^2 = 25$:

$$5^2 — 0^2 = 25 — 0 = 25$$

Ответ: является решением.

$(6; 3)$:
Подставим $x = 6$ и $y = 3$ в уравнение $x^2 — y^2 = 25$:

$$6^2 — 3^2 = 36 — 9 = 27 \neq 25$$

Ответ: не является решением.

$(3; 6)$:
Подставим $x = 3$ и $y = 6$ в уравнение $x^2 — y^2 = 25$:

$$3^2 — 6^2 = 9 — 36 = -27 \neq 25$$

Ответ: не является решением.
Ответ: 2).

2.

Пусть будет куплено $x$ карандашей по 90 руб и $y$ карандашей по 50 руб. Составим уравнение для общей стоимости:

$$90x + 50y = 1300$$

Преобразуем это уравнение для нахождения $y$:

$$50y = 1300 — 90x$$

Разделим обе части на 50:

$$y = 26 — \frac{9}{5}x$$

Подставим $x = 5$:

$$y = 26 — \frac{9}{5} \cdot 5 = 26 — 9 = 17$$

Сумма коробок:

$$x + y = 5 + 17 = 22$$

Подставим $x = 10$:

$$y = 26 — \frac{9}{5} \cdot 10 = 26 — 18 = 8$$

Сумма коробок:

$$x + y = 10 + 8 = 18$$

Наибольшее количество коробок, которое можно купить — 22.
Ответ: 3).

3.

$x — 2y — 1 = 0$ — это линейное уравнение, так как оно может быть представлено в виде $y = kx + b$.

$2x + y = 0$ — это линейное уравнение.

$2x — 7 = 0$ — это линейное уравнение.

$2xy = 1$ — это уравнение, которое не задаёт прямую, так как оно содержит произведение переменных, что делает его нелинейным.
Ответ: 4).

4.

$3x — 8y = -25$;
Подставим точку $A(3; 2)$:

$$3 \cdot 3 — 8 \cdot 2 = 9 — 16 = -5 \neq -25$$

Ответ: не проходит.
Подставим точку $B(-3; -2)$:

$$3 \cdot (-3) — 8 \cdot (-2) = -9 + 16 = 7 \neq -25$$

Ответ: не проходит.
Подставим точку $C(3; -2)$:

$$3 \cdot 3 — 8 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \neq -25$$

Ответ: не проходит.
Подставим точку $D(-3; 2)$:

$$3 \cdot (-3) — 8 \cdot 2 = -9 — 16 = -25$$

Ответ: проходит.
Ответ: 4).

5.

$2x — y = -3$;
Подставим точку $A(1; 5)$:

$$2 \cdot 1 — 5 = -3$$

Подставим точку $B(-1; 4)$:

$$2 \cdot (-1) — 4 = -6 \neq -3$$

Ответ: не проходит.

$x — 2y = -9$;
Подставим точку $A(1; 5)$:

$$1 — 2 \cdot 5 = -9$$

Подставим точку $B(-1; 4)$:

$$-1 — 2 \cdot 4 = -9$$

Ответ: проходит.

$x + 2y = 7$;
Подставим точку $A(1; 5)$:

$$1 + 2 \cdot 5 = 11 \neq 7$$

Подставим точку $B(-1; 4)$:

$$-1 + 2 \cdot 4 = 7$$

Ответ: не проходит.

$2x + y = 7$;
Подставим точку $A(1; 5)$:

$$2 \cdot 1 + 5 = 7$$

Подставим точку $B(-1; 4)$:

$$2 \cdot (-1) + 4 = 2 \neq 7$$

не проходит.
Ответ: 2).

6.

$y = 2x$ — это прямая, так как уравнение имеет вид линейной функции.

$y = -2x$ — это прямая, так как уравнение имеет вид линейной функции.

$y = -\frac{1}{2}x$ — это прямая, так как уравнение имеет вид линейной функции.

$y = \frac{1}{2}x$ — это прямая, так как уравнение имеет вид линейной функции.

Ответ:

• A — 3;
• Б — 2;
• В — 4;
• Г — 1.

7.

$x + y = -2$ преобразуется в $y = -x — 2$. Это уравнение прямой.

$x — y = 2$ преобразуется в $y = x — 2$. Это уравнение прямой.

$x + y = 2$ преобразуется в $y = -x + 2$. Это уравнение прямой.

$x — y = -2$ преобразуется в $y = x + 2$. Это уравнение прямой.

Ответ:

• A — 3;
• Б — 2;
• В — 1;
• Г — 4.

8.

1. $y = -3x + 5$ — проходит через I, II и IV четверти.
2. $y = -3x — 5$ — проходит через II, III и IV четверти.
3. $y = 3x — 5$ — проходит через I, III и IV четверти.
4. $y = 3x + 5$ — проходит через I, II и III четверти.

Ответ: 4).

9.

Прямой $y = 4x$ параллельна прямой, при $k = 4$, где:

$$39 = 4 \cdot 10 + l$$ $$l = 39 — 40 = -1.$$

Уравнение прямой: $y = 4x — 1$.

Ответ: 4).

10.

$$\begin{cases} 2x — 3y = 5 \\ x — 6y = -2 \end{cases}$$

Вторая строка умножается на 2:

$$2x — 12y = -4$$

Вычитаем:

$$(2x — 3y) — (2x — 12y) = 5 — (-4)$$ $$9y = 9$$ $$y = 1.$$

Подставляем $y = 1$ в $x — 6y = -2$:

$$x — 6 \cdot 1 = -2$$ $$x = 4.$$

Ответ: $(4; 1)$.

11.

Уравнение прямой $y = \frac{3}{4}x$ проходит через точку (0; 0) и (2; 1.5).

Подставляем в уравнение:

Для точки (6; 8):

$$\frac{3}{4} \cdot 6 = 4.5 \neq 8$$

Для точки (8; 12):

$$\frac{3}{4} \cdot 8 = 6 \neq 12$$

Для точки (15; 20):

$$\frac{3}{4} \cdot 15 = 11.25 \neq 20$$

Для точки (16; 12):

$$\frac{3}{4} \cdot 16 = 12$$

Ответ: 4).

12.

$$\begin{cases} x + y = -5 \\ x^2 — y^2 = 13 \end{cases}$$

Подставляем $x = -5 — y$ в $x^2 — y^2 = 13$:

$$(-5 — y)^2 — y^2 = 13$$ $$25 + 10y + y^2 — y^2 = 13$$ $$10y = 13 — 25$$ $$10y = -12$$ $$y = -1.2.$$

13.

$$\begin{cases} 2x — 3y = 3 \\ \frac{2x}{3} + y = \frac{1}{3} \end{cases}$$

Умножаем второе уравнение на 3:

$$2x + 3y = 1$$

Теперь вычитаем:

$$(2x — 3y) — (2x + 3y) = 3 — 1$$ $$6y = -2$$ $$y = -\frac{1}{3}.$$

Подставляем $y = -\frac{1}{3}$ в $2x — 3y = 3$:

$$2x + 1 = 3$$ $$2x = 2$$ $$x = 1.$$

Ответ: $(1; -\frac{1}{3})$.

14.

$$\begin{cases} xy = 90 \\ x + 1 = y \end{cases}$$

Подставляем $y = x + 1$ в первое уравнение:

$$x(x + 1) = 90$$ $$x^2 + x — 90 = 0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-90)}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 360}}{2}$$ $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{361}}{2}$$ $$x = \frac{-1 \pm 19}{2}$$

Таким образом:

$$x = 9 \quad \text{или} \quad x = -10.$$

При $x = 9$, $y = 10$, при $x = -10$, $y = -9$.

Ответ: 2).