ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 722 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

За 3 майки, 2 пары шорт и 4 пары кроссовок заплатили 2650 р., а за 2 майки, 3 пары шорт и пару кроссовок заплатили 1350 р. Сколько стоит комплект из майки, одной пары шорт и одной пары кроссовок?

Пусть одна майка стоит $x$ руб., одни шорты — $y$ руб., а одна пара кроссовок — $z$ руб. Тогда комплект стоит $x + y + z$ руб.

Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} 3x + 2y + 4z = 2650 \\ 2x + 3y + z = 1350 \end{cases}$$

$$5x+5y+5z=4000\mathrm{\mid }:5$$

$$5x + 5y + 5z = 4000 \quad | : 5$$ $$x + y + z = 800 \quad (\text{руб.}) \quad \text{стоит комплект.}$$

Ответ: 800 руб.

Постановка задачи:

Пусть:

• $x$ — цена одной майки (в рублях),
• $y$ — цена одних шорт (в рублях),
• $z$ — цена пары кроссовок (в рублях).

Тогда стоимость одного комплекта (майка, шорты, кроссовки) составляет $x + y + z$ руб.

Задана следующая система уравнений:

$$\begin{cases} 3x + 2y + 4z = 2650 \\ 2x + 3y + z = 1350 \end{cases}$$

Также дается третье уравнение:

$$5x + 5y + 5z = 4000$$

Шаг 1: Упростим третье уравнение

Давайте упростим третье уравнение, разделив обе части на 5:

$$\frac{5x+5y+5z}{5}=\frac{4000}{5}$$

$$\frac{5x + 5y + 5z}{5} = \frac{4000}{5}$$ $$x + y + z = 800$$

Теперь у нас есть система из трех уравнений:

$$\begin{cases} 3x + 2y + 4z = 2650 \\ 2x + 3y + z = 1350 \\ x + y + z = 800 \end{cases}$$

Шаг 2: Подставим выражения в систему

Из третьего уравнения $x + y + z = 800$, выразим $x + y + z$:

$$x + y + z = 800$$

Подставим $x + y + z = 800$ во второе уравнение

$2x + 3y + z = 1350$ и выразим $z$:

$$2x + 3y + z = 1350 \quad \Rightarrow z = 1350 — 2x — 3y$$

Шаг 3: Подставим значение $z$ в первое уравнение

Подставим $z = 1350 — 2x — 3y$ в первое уравнение $3x + 2y + 4z = 2650$:

$$3x + 2y + 4(1350 — 2x — 3y) = 2650$$

Раскроем скобки:

$$3x + 2y + 5400 — 8x — 12y = 2650$$

Соберем все слагаемые:

$$(3x-8x)+(2y-12y)+5400=2650$$

$$(3x — 8x) + (2y — 12y) + 5400 = 2650$$ $$-5x — 10y + 5400 = 2650$$

Теперь перенесем 5400 в правую часть:

$$-5x-10y=2650-5400$$

$$-5x — 10y = 2650 — 5400$$ $$-5x — 10y = -2750$$

Разделим обе части на -5:

$$x + 2y = 550$$

Теперь у нас есть система:

$$\begin{cases} x + 2y = 550 \\ x + y + z = 800 \end{cases}$$

Шаг 4: Решим систему уравнений

Мы можем решить систему $x + 2y = 550$ и $x + y + z = 800$ методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$$x = 550 — 2y$$

Теперь подставим $x = 550 — 2y$ в уравнение $x + y + z = 800$:

$$(550 — 2y) + y + z = 800$$

Упростим:

$$550-2y+y+z=800$$

$$550 — 2y + y + z = 800$$ $$550-y+z=800$$

$$550 — y + z = 800$$ $$z=800-550+y$$

$$z = 800 — 550 + y$$ $$z = 250 + y$$

Теперь подставим это значение $z$ в уравнение для $2x + 3y + z = 1350$:

$$2x + 3y + (250 + y) = 1350$$

Подставим $x = 550 — 2y$:

$$2(550 — 2y) + 3y + 250 + y = 1350$$

Раскроем скобки:

$$1100 — 4y + 3y + 250 + y = 1350$$

Соберем все слагаемые:

$$1100 + 250 — 4y + 3y + y = 1350$$ $$1350 = 1350 \quad \text{(верно!)}$$

Шаг 5: Найдем цену каждого предмета

Теперь, имея правильное решение, можем проверить: