ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 720 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Три сосуда вместе имеют вместимость, равную 80 л. Если первый сосуд наполнить водой и затем перелить ее в два других сосуда, то либо второй сосуд наполнится доверху, а третий — на 3/5, либо третий сосуд наполнится доверху, а второй — на 1/2. Найдите вместимость каждого сосуда.

Пусть вместимость первого сосуда $x$ л, вместимость второго сосуда $y$ л, а вместимость третьего сосуда $z$ л.

Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} x + y + z = 80 \\ x = y + \frac{3}{5}z \\ x = \frac{1}{2}y + z \end{cases}$$

$$\begin{cases} x + y + z = 80 \\ 5x — 5y — 3z = 0 \\ 2x — y — 2z = 0 \end{cases}$$

$$\begin{cases} y = 2x — 2z \\ 5x — 5(2x — 2z) — 3z = 0 \\ x + 2x — 2z + z = 80 \end{cases}$$

$$\begin{cases} y = 2x — 2z \\ 5x — 10x + 10z — 3z = 0 \\ 3x — z = 80 \end{cases}$$

$$\begin{cases} y = 2x — 2z \\ 7(3x — 80) — 5x = 0 \\ z = 3x — 80 \end{cases}$$

$$\begin{cases} 16x = 560 \\ z = 3x — 80 \\ y = 2x — 2z \end{cases}$$

$$\begin{cases} x = 35 \\ z = 3 \cdot 35 — 80 \\ y = 2 \cdot 35 — 2z \end{cases}$$

$$\begin{cases} x = 35 \\ z = 25 \\ y = 20 \end{cases}$$

Ответ: 35 л вместимость первого сосуда; 20 л — второго; 25 л — третьего.

Постановка задачи:

Пусть вместимость первого сосуда $x$ литров, второго сосуда $y$ литров, а третьего сосуда $z$ литров. Необходимо решить систему уравнений:

$$\begin{cases} x + y + z = 80 \\ x = y + \frac{3}{5}z \\ x = \frac{1}{2}y + z \end{cases}$$

где:

• $x$ — вместимость первого сосуда,
• $y$ — вместимость второго сосуда,
• $z$ — вместимость третьего сосуда.

Шаг 1: Упростим систему уравнений

Первое уравнение:

$$x + y + z = 80$$

Второе уравнение:

$$x = y + \frac{3}{5}z$$

Третье уравнение:

$$x = \frac{1}{2}y + z$$

Шаг 2: Преобразуем уравнения

Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое и третье уравнение.

Из второго уравнения $x = y + \frac{3}{5}z$, подставим это в первое уравнение:

$$(y + \frac{3}{5}z) + y + z = 80$$

Упростим:

$$2y + \frac{3}{5}z + z = 80$$

Преобразуем $z$ как $\frac{5}{5}z$, чтобы привести к общему знаменателю:

$$2y + \frac{3}{5}z + \frac{5}{5}z = 80$$ $$2y + \frac{8}{5}z = 80$$

Теперь умножим все уравнение на 5, чтобы избавиться от дробей:

$$10y + 8z = 400$$

Получаем первое уравнение:

$$10y + 8z = 400$$

Теперь подставим $x = y + \frac{3}{5}z$ в третье уравнение:

$$y + \frac{3}{5}z = \frac{1}{2}y + z$$

Приведем к общему знаменателю:

$$y + \frac{3}{5}z = \frac{1}{2}y + \frac{5}{5}z$$

Теперь умножим все уравнение на 10, чтобы избавиться от дробей:

$$10y + 6z = 5y + 5z$$

Преобразуем:

$$10y — 5y + 6z — 5z = 0$$ $$5y + z = 0$$

Получаем второе уравнение:

$$5y + z = 0$$

Шаг 3: Решаем систему

Теперь у нас есть система двух уравнений:

$$\begin{cases} 10y + 8z = 400 \\ 5y + z = 0 \end{cases}$$

Из второго уравнения $5y + z = 0$ выразим $z$ через $$$y$:

$$z = -5y$$

Подставим $z = -5y$ в первое уравнение:

$$10y + 8(-5y) = 400$$

Раскроем скобки:

$$10y-40y=400$$

$$10y — 40y = 400$$ $$-30y = 400$$

Решим для $y$:

$$y = \frac{400}{-30} = -\frac{40}{3}$$

Поскольку полученное значение для $y$ не является целым числом, значит, решение является неверным