ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 72 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1)Проверьте равенства:
$\frac{1}{2} — \frac{1}{3} = \frac{1}{2 \cdot 3}$;
$\frac{1}{3} — \frac{1}{4} = \frac{1}{3 \cdot 4}$;
$\frac{1}{4} — \frac{1}{5} = \frac{1}{4 \cdot 5}$;
$\frac{1}{5} — \frac{1}{6} = \frac{1}{5 \cdot 6}$.

Продолжите эту цепочку равенств. Запишите соответствующее буквенное равенство и докажите его.

2)Примените доказанное равенство для упрощения выражений:
а) $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}$;
б) $\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \dots + \frac{1}{(x+99)(x+100)}$.

3)Упростите эти выражения другим способом, последовательно складывая дроби. Получился ли тот же результат?

1.

$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3-2}{2\cdot 3}=\frac{1}{2\cdot 3}$ — верно;

$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4-3}{3\cdot 4}=\frac{1}{3\cdot 4}$ — верно;

$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{5-4}{4\cdot 5}=\frac{1}{4\cdot 5}$ — верно;

$\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{6-5}{5\cdot 6}=\frac{1}{5\cdot 6}$ — верно.

$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}$ — верно.

2.

а) $\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}$

$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=\frac{n}{n+1}\mathrm{.}$

б) $\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots +\frac{1}{(x+99)(x+100)}$

$=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\cdots +\frac{1}{x+99}-\frac{1}{x+100}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+100}=\frac{x+100-x}{x(x+100)}=\frac{100}{x(x+100)}\mathrm{.}$

3.

а) $\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}$

$=\frac{3+1}{2\cdot 3}+\frac{4+1}{3\cdot 4}+\cdots +\frac{n+1}{n(n+1)}=\frac{2\cdot 4+1}{3\cdot 4}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}=\frac{8+1}{3\cdot 4}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}=$

$\frac{n-1}{n}+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{(n-1)(n+1)+1}{n(n+1)}=\frac{n^2-1+1}{n(n+1)}=\frac{n^2}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}\mathrm{.}$

б)
$$\text{b)}\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots +\frac{1}{(x+99)(x+100)}=$$

$$$$$$=\frac{x+2+x}{x(x+1)(x+2)}+\cdots +\frac{1}{(x+99)(x+100)}=$$

$$$$$$=\frac{2x+2}{x(x+1)(x+2)}+\cdots +\frac{1}{(x+99)(x+100)}=$$

$$$$$$=\frac{2(x+1)}{x(x+1)(x+2)}+\cdots +\frac{1}{(x+99)(x+100)}=$$

$$$$$$=\frac{2}{x(x+2)}+\cdots +\frac{1}{(x+99)(x+100)}=$$

$$$$$$=\frac{99}{x(x+99)}+\frac{1}{(x+99)(x+100)}=\frac{99(x+100)+x}{x(x+99)(x+100)}=$$

$$$$$$=\frac{99x+9900+x}{x(x+99)(x+100)}=\frac{100x+9900}{x(x+99)(x+100)}=\frac{100(x+99)}{x(x+99)(x+100)}=$$

$$$$$$=\frac{100}{x(x+100)}\mathrm{.}$$

1) Упрощение разности дробей

• $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3-2}{2\cdot 3}=\frac{1}{2\cdot 3}$ — верно.Подробное объяснение:
  Для выполнения операции вычитания дробей нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$ будет равен $2\cdot 3=6$. 

  $$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}\mathrm{.}$$В результате получаем $\frac{1}{2\cdot 3}$, что совпадает с правой частью выражения.

• $\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4-3}{3\cdot 4}=\frac{1}{3\cdot 4}$ — верно.Подробное объяснение:
  Для выполнения операции вычитания дробей нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$ будет равен $3\cdot 4=12$. 

  $$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4}{12}-\frac{3}{12}=\frac{1}{12}\mathrm{.}$$В результате получаем $\frac{1}{3\cdot 4}$, что совпадает с правой частью выражения.

• $\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{5-4}{4\cdot 5}=\frac{1}{4\cdot 5}$ — верно.Подробное объяснение:
  Для выполнения операции вычитания дробей нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{5}$ будет равен $4\cdot 5=20$. 

  $$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{5}{20}-\frac{4}{20}=\frac{1}{20}\mathrm{.}$$В результате получаем $\frac{1}{4\cdot 5}$, что совпадает с правой частью выражения.

• $\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{6-5}{5\cdot 6}=\frac{1}{5\cdot 6}$ — верно.Подробное объяснение:
  Для выполнения операции вычитания дробей нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{6}$ будет равен $5\cdot 6=30$. 

  $$\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{6}{30}-\frac{5}{30}=\frac{1}{30}\mathrm{.}$$В результате получаем $\frac{1}{5\cdot 6}$, что совпадает с правой частью выражения.

• $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}$ — верно.Подробное объяснение:
  Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, находим общий знаменатель, который будет равен $n(n+1)$.
  Тогда: 

  $$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}\mathrm{.}$$Это выражение также верно.

2) Сумма дробей с последовательными множителями в знаменателе

а) $\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}$

Подробное объяснение:
Мы видим, что дроби можно записать как разность двух дробей:

$$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\mathrm{.}$$

Следовательно, вся сумма примет вид:

$$(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots +(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\mathrm{.}$$

Как видно, все промежуточные члены взаимно сокращаются, и остаются только:

$$1-\frac{1}{n+1}\mathrm{.}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$1-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=\frac{n}{n+1}\mathrm{.}$$

б) $\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots +\frac{1}{(x+99)(x+100)}$

Подробное объяснение:
Аналогично предыдущему примеру, каждая дробь разлагается как разность:

$$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\mathrm{.}$$

В результате вся сумма принимает вид:

$$(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})+(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2})+\cdots +(\frac{1}{x+99}-\frac{1}{x+100})\mathrm{.}$$

Снова все промежуточные члены сокращаются, и остаются:

$$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+100}\mathrm{.}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+100}=\frac{x+100-x}{x(x+100)}=\frac{100}{x(x+100)}\mathrm{.}$$

3) Преобразование выражения для суммы дробей

а) $\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}$

Подробное объяснение:
Перепишем дроби так, чтобы в числителе появились выражения вида:

$$\frac{3+1}{2\cdot 3}+\frac{4+1}{3\cdot 4}+\cdots +\frac{n+1}{n(n+1)}\mathrm{.}$$

Это можно интерпретировать как:

$$\frac{2\cdot 4+1}{3\cdot 4}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}\mathrm{.}$$

Выполнив сложение и дальнейшее упрощение, получаем:

$$\frac{n-1}{n}+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{(n-1)(n+1)+1}{n(n+1)}\mathrm{.}$$

Раскрываем скобки:

$$\frac{n^2-1+1}{n(n+1)}=\frac{n^2}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}\mathrm{.}$$

Давайте подробно разберем решение шага за шагом.

$$\text{б)}\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots +\frac{1}{(x+99)(x+100)}\mathrm{.}$$

Мы видим, что это сумма дробей с последовательными множителями в знаменателе. Для упрощения будем рассматривать эту сумму как цепочку, в которой каждый элемент имеет форму:

$$\frac{1}{(x+k)(x+k+1)}\mathrm{.}$$

Шаг 1: Разложение каждой дроби на частные дроби

Каждую дробь из последовательности можно разложить с использованием разности дробей:

$$\frac{1}{(x+k)(x+k+1)}=\frac{1}{x+k}-\frac{1}{x+k+1}\mathrm{.}$$

Применяем это для всех дробей:

$$\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1},$$$$\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2},$$

и так далее.

Теперь наша сумма принимает вид:

$$(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})+(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2})+\cdots +(\frac{1}{x+99}-\frac{1}{x+100})\mathrm{.}$$

Шаг 2: Сокращение выражения

Теперь видим, что в этой сумме происходит взаимное сокращение всех внутренних дробей. То есть, все промежуточные члены типа $\frac{1}{x+1},\frac{1}{x+2},\dots ,\frac{1}{x+99}$ сократятся, и останутся только:

$$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+100}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Итоговый результат

После сокращения сумма превращается в выражение:

$$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+100}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Объединение в одну дробь

Приведем к общему знаменателю $x(x+100)$:

$$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+100}=\frac{(x+100)-x}{x(x+100)}=\frac{100}{x(x+100)}\mathrm{.}$$

Итог:

Таким образом, итоговое выражение для суммы:

$$\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots +\frac{1}{(x+99)(x+100)}=\frac{100}{x(x+100)}$$