ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 719 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Отцу, матери и сыну вместе 70 лет. Отец старше матери на 5 лет, а мать старше сына на 25 лет. Сколько лет каждому?

Пусть отцу $x$ лет, матери $y$ лет, а сыну $z$ лет.

Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} x + y + z = 70 \\ x — y = 5 \\ y — z = 25 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x = 5 + y \\ z = y — 25 \end{cases}$$

$$5 + y + y + y — 25 = 70$$

$$3y = 90$$

Решаем систему:

$$\begin{cases} y = 30 \\ x = 5 + y \\ z = y — 25 \end{cases}$$ $$\begin{cases} y = 30 \\ x = 35 \\ z = 5 \end{cases}$$

Ответ: 35 лет отцу, 30 лет матери и 5 лет сыну.

Постановка задачи:

Пусть отцу $x$ лет, матери $y$ лет, а сыну $z$ лет. Необходимо решить систему уравнений:

$$\begin{cases} x + y + z = 70 \\ x — y = 5 \\ y — z = 25 \end{cases}$$

где:

• $x$ — возраст отца,
• $y$ — возраст матери,
• $z$ — возраст сына.

Шаг 1: Выразим переменные через одну из них

Из второго уравнения $x — y = 5$ выразим $x$ через $y$:

$$x = y + 5$$

Из третьего уравнения $y — z = 25$ выразим $z$ через $y$:

$$z = y — 25$$

Теперь система уравнений будет выглядеть так:

$$\begin{cases} x = y + 5 \\ z = y — 25 \\ x + y + z = 70 \end{cases}$$

Шаг 2: Подставим выражения для $x$ и $z$ в третье уравнение

Подставим $x = y + 5$ и $z = y — 25$ в первое уравнение $x + y + z = 70$:

$$(y + 5) + y + (y — 25) = 70$$

Шаг 3: Упростим уравнение

Раскроем скобки и соберем все подобные члены:

$$y + 5 + y + y — 25 = 70$$ $$3y — 20 = 70$$

Шаг 4: Изолируем $y$$y$

Теперь перенесем -20 в правую часть уравнения:

$$3y = 70 + 20$$ $$3y = 90$$

Шаг 5: Решим для $y$$y$

Теперь разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти $y$:

$$y = \frac{90}{3}$$ $$y = 30$$

Теперь мы знаем, что матери $y = 30$ лет.

Шаг 6: Найдем $x$ и $z$$z$

Теперь, когда мы знаем $y = 30$, подставим это значение в выражения для $x$ и $z$:

Для $x$:

$$x = y + 5 = 30 + 5 = 35$$

Для $z$:

$$z = y — 25 = 30 — 25 = 5$$

Шаг 7: Проверка решения

Проверим, что найденные значения $x = 35$, $y = 30$, $z = 5$ удовлетворяют все уравнения исходной системы.

Подставим $x = 35$, $y = 30$, и $z = 5$ в первое уравнение:

$$x+y+z=70$$

$$x + y + z = 70$$ $$35 + 30 + 5 = 70$$

Уравнение выполнено.

Подставим $x = 35$ и $y = 30$ во второе уравнение:

$$x-y=5$$

$$x — y = 5$$ $$35 — 30 = 5$$

Уравнение выполнено.

Подставим $y = 30$ и $z = 5$ в третье уравнение:

$$y-z=25$$

$$y — z = 25$$ $$30 — 5 = 25$$

Уравнение выполнено.

Ответ:

Таким образом, найденное решение верно. Мы нашли, что:

• Отцу $35$ лет,
• Матери $30$ лет,
• Сыну $5$ лет.

Ответ: 35 лет отцу, 30 лет матери и 5 лет сыну.