ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 71 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите,что:

а) $\frac{1}{(a-b)(a-c)} + \frac{1}{(b-c)(b-a)} + \frac{1}{(c-a)(c-b)} = 0$;

б) $\frac{1}{a(a+1)} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+3)} = \frac{3}{a(a+3)}$.

а) $\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-c)(b-a)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}=0$

$\frac{1}{(a-b)(a-c)}-\frac{1}{(b-c)(a-b)}+\frac{1}{(a-c)(b-c)}=0$

$\frac{b-c-(a-c)+a-b}{(a-b)(a-c)(b-c)}=0$

$\frac{b-c-a+c+a-b}{(a-b)(a-c)(b-c)}=0$

$\frac{0}{(a-b)(a-c)(b-c)}=0$

$0=0.$

б) $\frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)}+\frac{1}{(a+2)(a+3)}=\frac{3}{a(a+3)}$

$\frac{(a+2)(a+3)+a(a+3)+a(a+1)}{a(a+1)(a+2)(a+3)}=\frac{3}{a(a+3)}$

$\frac{a^2+5a+6+a^2+3a+a^2+a}{a(a+1)(a+2)(a+3)}=\frac{3}{a(a+3)}$

$\frac{3a^2+9a+6}{a(a+1)(a+2)(a+3)}=\frac{3}{a(a+3)}$

$\frac{3(a^2+3a+2)}{a(a+1)(a+2)(a+3)}=\frac{3}{a(a+3)}$

$\frac{3}{a(a+3)}=\frac{3}{a(a+3)}\mathrm{.}$

а) $\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-c)(b-a)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}=0$

Исходное выражение:

$$\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-c)(b-a)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}$$

Мы видим, что у нас несколько дробей, и для их сложения нужно привести их к общему знаменателю. Чтобы это сделать, давайте попробуем сделать замену знаков и группировку:

Перепишем выражение с перестановкой второго и третьего слагаемого:

$$\frac{1}{(a-b)(a-c)}-\frac{1}{(b-c)(a-b)}+\frac{1}{(a-c)(b-c)}=0$$

Мы разделим дроби, чтобы получить общий знаменатель для всех трех слагаемых.

Общий знаменатель:
Общий знаменатель этих дробей будет $(a-b)(a-c)(b-c)$. Таким образом, нам нужно привести каждую дробь к этому общему знаменателю:

$$\frac{1}{(a-b)(a-c)}=\frac{(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$$

$$-\frac{1}{(b-c)(a-b)}=\frac{(a-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$$

$$\frac{1}{(a-c)(b-c)}=\frac{(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$$

Подставляем в исходное выражение:
Теперь заменим дроби на полученные выражения:

$$\frac{b-c}{(a-b)(a-c)(b-c)}+\frac{-(a-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}+\frac{a-b}{(a-b)(a-c)(b-c)}=0$$

Объединим числители:

$$\frac{b-c-(a-c)+a-b}{(a-b)(a-c)(b-c)}=0$$

Упрощаем числитель:
Перепишем числитель:

$$b-c-a+c+a-b=0$$

Получаем 0 в числителе, то есть:

$$\frac{0}{(a-b)(a-c)(b-c)}=0$$

Итог:
Это выражение равно 0, так как числитель равен 0. Таким образом, мы получаем:

$$0=0$$

б) $\frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)}+\frac{1}{(a+2)(a+3)}=\frac{3}{a(a+3)}$

Исходное выражение:

$$\frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)}+\frac{1}{(a+2)(a+3)}$$

Чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель этих дробей будет:

$$a(a+1)(a+2)(a+3)$$

Теперь нужно привести каждую дробь к этому общему знаменателю.

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{1}{a(a+1)}=\frac{(a+2)(a+3)}{a(a+1)(a+2)(a+3)}$$

$$\frac{1}{(a+1)(a+2)}=\frac{a(a+3)}{a(a+1)(a+2)(a+3)}$$

$$\frac{1}{(a+2)(a+3)}=\frac{a(a+1)}{a(a+1)(a+2)(a+3)}$$

Объединяем числители:

$$\frac{(a+2)(a+3)+a(a+3)+a(a+1)}{a(a+1)(a+2)(a+3)}$$

Раскроем и упростим числитель:

$$(a+2)(a+3)=a^2+5a+6$$

$$a(a+3)=a^2+3a$$

$$a(a+1)=a^2+a$$

Складываем все части:

$$a^2+5a+6+a^2+3a+a^2+a=3a^2+9a+6$$

Получаем дробь:

$$\frac{3a^2+9a+6}{a(a+1)(a+2)(a+3)}=\frac{3}{a(a+3)}$$

Итог:
Действительно, мы получаем:

$$\frac{3}{a(a+3)}=\frac{3}{a(a+3)}$$