ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 700 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

$$\begin{cases} x + 3y \leq 16 \\ 2x + y \leq 12 \\ 0 \leq y \leq 5 \\ 0 \leq x \leq 5 \end{cases}$$

Дана система:

$$\begin{cases} x + 3y \leq 16 \\ 2x + y \leq 12 \\ 0 \leq y \leq 5 \\ 0 \leq x \leq 5 \end{cases}$$

1) $x + 3y \leq 16$

Это неравенство описывает область, которая лежит ниже или на прямой $x + 3y = 16$. Чтобы построить её, выразим $y$ через $x$:

$$y \leq \frac{16 — x}{3}$$

Прямая будет проходить через точки $(0, \frac{16}{3}) \approx (0, 5.33)$ и $(16, 0)$.

2) $2x + y \leq 12$

Это неравенство описывает область, которая лежит ниже или на прямой $2x + y = 12$. Для построения выражим $y$ через $x$:

$$y \leq 12 — 2x$$

Прямая будет проходить через точки $(0, 12)$ и $(6, 0)$.

3) $0 \leq y \leq 5$

Это условие ограничивает область решения значениями $y$ в пределах от 0 до 5, то есть область находится между горизонтальными прямыми $y = 0$ и $y = 5$.

4) $0 \leq x \leq 5$

Это условие ограничивает область решения значениями $x$ в пределах от 0 до 5, то есть область находится между вертикальными прямыми $x = 0$ и $x = 5$.

Построение решения:

Теперь построим все ограничения на одной координатной плоскости:

Прямая $x + 3y = 16$ ограничивает область сверху.

Прямая $2x + y = 12$ ограничивает область ниже.

Условия $0 \leq x \leq 5$ и $0 \leq y \leq 5$ ограничивают область координатами $x$ и $y$ в пределах от 0 до 5.

Вычисление точек пересечения:

Пересечем прямые $x + 3y = 16$ и $2x + y = 12$:

$$x+3y=16\text{(умножим на 2)}$$

$$x + 3y = 16 \quad \text{(умножим на 2)}$$ $$2x+6y=32$$

$$2x + 6y = 32$$ $$2x+y=12\text{(вычитаем)}$$

$$2x + y = 12 \quad \text{(вычитаем)}$$ $$(2x+6y)-(2x+y)=32-12$$

$$(2x + 6y) — (2x + y) = 32 — 12$$ $$5y=20$$

$$5y = 20$$ $$y = 4$$

Теперь подставим $y = 4$ в одно из уравнений, например, $2x + y = 12$:

$$2x+4=12$$

$$2x + 4 = 12$$ $$2x=8$$

$$2x = 8$$ $$x = 4$$

Таким образом, точка пересечения этих прямых — $(4, 4)$.

Определение области:

Мы знаем, что $x$ и $y$ ограничены интервалами $[0, 5]$, и мы нашли точку пересечения прямых $(4, 4)$. Теперь проверим, что область решения состоит из точек, которые лежат в пределах этих границ и одновременно удовлетворяют неравенствам.

Таким образом, область решения будет многоугольником, ограниченным вертикальными прямыми $x = 0$ и $x = 5$, горизонтальными прямыми $y = 0$ и $y = 5$, и двумя прямыми:

• $x + 3y = 16$,
• $2x + y = 12$.

Эта область будет треугольной, с вершинами в точках $(0, 5)$, $(4, 4)$, и $(5, 2.5)$.