ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 70 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Представьте дробь в виде суммы или в виде разности многочлена и дроби:

а) $\frac{a^2}{a-1}$;

б) $\frac{c^2}{c^2-1}$;

в) $\frac{m^2+n^2}{m-n}$;

г) $\frac{x^2+xz+z^2}{x+z}$.

а) $\frac{a^2}{a-1}=\frac{a^2-1+1}{a-1}=\frac{a^2-1}{a-1}+\frac{1}{a-1}=a+1+\frac{1}{a-1}$

б) $\frac{c^2}{c^2-1}=\frac{c^2-1+1}{c^2-1}=\frac{c^2-1}{c^2-1}+\frac{1}{c^2-1}=1+\frac{1}{c^2-1}$

в) $\frac{m^2+n^2}{m-n}=\frac{m^2-n^2+2n^2}{m-n}=\frac{m^2-n^2}{m-n}+\frac{2n^2}{m-n}=m+n+\frac{2n^2}{m-n}$

г) $\frac{x^2+xz+z^2}{x+z}=\frac{x^2+2xz+z^2-xz}{x+z}=\frac{(x+z{)}^2-xz}{x+z}=x+z-\frac{xz}{x+z}$

а) $\frac{a^2}{a-1}=\frac{a^2-1+1}{a-1}=\frac{a^2-1}{a-1}+\frac{1}{a-1}=a+1+\frac{1}{a-1}$.

Исходное выражение: $\frac{a^2}{a-1}$.

Мы можем добавить и вычесть 1 в числителе:

$$\frac{a^2}{a-1}=\frac{a^2-1+1}{a-1}$$

Это позволяет нам разделить выражение на две дроби:

$$\frac{a^2-1}{a-1}+\frac{1}{a-1}$$

Дальше, $\frac{a^2-1}{a-1}$ можно разложить на множители:

$$a^2-1=(a-1)(a+1)$$

Таким образом, получаем:

$$\frac{(a-1)(a+1)}{a-1}=a+1$$

Итак, выражение становится:

$$a+1+\frac{1}{a-1}$$

Это и есть окончательный результат.

б) $\frac{c^2}{c^2-1}=\frac{c^2-1+1}{c^2-1}=\frac{c^2-1}{c^2-1}+\frac{1}{c^2-1}=1+\frac{1}{c^2-1}$.

Исходное выражение: $\frac{c^2}{c^2-1}$.

Добавляем и вычитаем 1 в числителе:

$$\frac{c^2}{c^2-1}=\frac{c^2-1+1}{c^2-1}$$

Это позволяет разделить дробь на две части:

$$\frac{c^2-1}{c^2-1}+\frac{1}{c^2-1}$$

$\frac{c^2-1}{c^2-1}$ равняется 1, так как числитель и знаменатель одинаковы:

$$1+\frac{1}{c^2-1}$$

Это и есть окончательное упрощение.

в) $\frac{m^2+n^2}{m-n}=\frac{m^2-n^2+2n^2}{m-n}=\frac{m^2-n^2}{m-n}+\frac{2n^2}{m-n}=m+n+\frac{2n^2}{m-n}$.

Исходное выражение: $\frac{m^2+n^2}{m-n}$.

Мы добавим и вычтем $n^2$ в числителе:

$$\frac{m^2+n^2}{m-n}=\frac{m^2-n^2+2n^2}{m-n}$$

Разделим дробь на две части:

$$\frac{m^2-n^2}{m-n}+\frac{2n^2}{m-n}$$

Выражение $\frac{m^2-n^2}{m-n}$ можно разложить на множители:

$$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$$

Таким образом:

$$\frac{(m-n)(m+n)}{m-n}=m+n$$

В итоге получаем:

$$m+n+\frac{2n^2}{m-n}$$

г) $\frac{x^2+xz+z^2}{x+z}=\frac{x^2+2xz+z^2-xz}{x+z}=\frac{(x+z{)}^2-xz}{x+z}=x+z-\frac{xz}{x+z}$.

Исходное выражение: $\frac{x^2+xz+z^2}{x+z}$.

Мы добавим и вычтем $xz$ в числителе:

$$\frac{x^2+xz+z^2}{x+z}=\frac{x^2+2xz+z^2-xz}{x+z}$$

В числителе у нас получается выражение, которое является полным квадратом:

$$x^2+2xz+z^2=(x+z{)}^2$$

Таким образом:

$$\frac{(x+z{)}^2-xz}{x+z}$$

Разделим дробь на две части:

$$\frac{(x+z{)}^2}{x+z}-\frac{xz}{x+z}$$

Первая часть упрощается до:

$$x+z$$

В итоге:

$$x+z-\frac{xz}{x+z}$$