ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 696 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1) В одной системе координат постройте прямые:
а) y=3x+1 и y=-1/3 x+1;
б) y=-2x+2 и y=1/2 x-3.
2) Убедитесь, что прямые на каждом из рисунков перпендикулярны. Как связаны между собой угловые коэффициенты каждой пары прямых?
3) Запишите в буквенном виде соотношение, связывающее угловые коэффициенты перпендикулярных прямых y=k_1 x+l_1 и y=k_2 x+l_2.
4) Запишите уравнение какой-нибудь прямой, перпендикулярной прямой:
а) y=-1/4 x-1;
б) y=x+5.
5) Дана прямая y=-3/2 x+3. Запишите уравнение прямой:
а) перпендикулярной данной прямой и проходящей через начало координат;
б) перпендикулярной данной прямой и проходящей через точку A (9; 2);
в) пересекающей данную прямую под прямым углом в точке M (0; 3).

1) а) $y = 3x + 1$ и $y = -\frac{1}{3}x + 1$;

$y = -2x + 2$ и $y = \frac{1}{2}x — 3$.

2) Прямые на каждом из рисунков перпендикулярны. Произведение угловых коэффициентов каждой пары прямых равно $(-1)$:

3) а) $3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -1$;
6) $-2 \cdot \frac{1}{2} = -1$.

$y = k_1x + l_1$ и $y = k_2x + l_2$;
$k_1 \cdot k_2 = -1$.

4) а) $y = -\frac{1}{4}x — 1 \quad \rightarrow \quad y = 4x — 1$;

$y = x + 5 \quad \rightarrow \quad y = -x$;

$y = -\frac{3}{2}x + 3$;
а) $y = \frac{2}{3}x + l$, $\quad$ (0; 0);
$0 = \frac{2}{3} \cdot 0 + l$
$l = 0$.
Уравнение: $y = \frac{2}{3}x$.

б) $y = \frac{2}{3}x + l$, $\quad$ А (9; 2);
$2 = \frac{2}{3} \cdot 9 + l$
$2 = 6 + l$
$l = -4$.
Уравнение: $y = \frac{2}{3}x — 4$.

в) $y = \frac{2}{3}x + l$, $\quad$ М (0; 3);
$3 = \frac{2}{3} \cdot 0 + l$
$l = 3$.
Уравнение: $y = \frac{2}{3}x + 3$.

1) Найдем угловые коэффициенты и проверим перпендикулярность прямых:

а) Прямые: $y = 3x + 1$ и $y = -\frac{1}{3}x + 1$.

Для проверки перпендикулярности двух прямых, нужно проверить, что произведение их угловых коэффициентов равно $-1$. Угловой коэффициент прямой $y = kx + l$ — это значение $k$.

• Для первой прямой $y = 3x + 1$ угловой коэффициент $k_1 = 3$.
• Для второй прямой $y = -\frac{1}{3}x + 1$ угловой коэффициент $k_2 = -\frac{1}{3}$.

Теперь проверим произведение угловых коэффициентов:

$$k_1 \cdot k_2 = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -1$$

Так как произведение угловых коэффициентов равно $-1$, эти прямые перпендикулярны.

6) Прямые: $y = -2x + 2$ и $y = \frac{1}{2}x — 3$.

• Для первой прямой $y = -2x + 2$ угловой коэффициент $k_1 = -2$.
• Для второй прямой $y = \frac{1}{2}x — 3$ угловой коэффициент $k_2 = \frac{1}{2}$.

Теперь проверим произведение угловых коэффициентов:

$$k_1 \cdot k_2 = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$$

Так как произведение угловых коэффициентов равно $-1$, эти прямые также перпендикулярны.

2) Прямые на рисунке перпендикулярны:

Мы показали, что для каждой пары прямых произведение угловых коэффициентов равно $-1$. Это доказательство того, что прямые на рисунках перпендикулярны.

3) Уравнения прямых в виде $y = kx + l$:

Если заданы прямые с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$, и их произведение равно $-1$, то они перпендикулярны:

$$y = k_1x + l_1$$ $$y = k_2x + l_2$$

С условием, что $k_1 \cdot k_2 = -1$, прямые будут перпендикулярны.

4) Прямые, симметричные относительно оси $x$ или $y$:

а) Прямая $y = -\frac{1}{4}x — 1$, симметричная относительно оси $y$:

Если прямую симметрировать относительно оси $y$, то меняем знак перед $x$. Исходное уравнение:

$$y = -\frac{1}{4}x — 1$$

Симметричная прямая будет иметь уравнение:

$$y = 4x — 1$$

Прямая $y = x + 5$, симметричная относительно оси $y$:

Исходное уравнение:

$$y = x + 5$$

Симметричная прямая будет иметь уравнение:

$$y = -x$$

5) Нахождение уравнений прямых:

У нас есть несколько задач по нахождению уравнений прямых, если заданы точка и угловой коэффициент.

а) Прямая $y = -\frac{3}{2}x + 3$, нужно найти уравнение прямой с угловым коэффициентом $\frac{2}{3}$ и проходящей через точку $(0; 0)$.

Для прямой с угловым коэффициентом $\frac{2}{3}$ и точкой $(0; 0)$:

Подставим $x = 0$ и $y = 0$ в уравнение $y = \frac{2}{3}x + l$:

$$0=\frac{2}{3}\cdot 0+l$$

$$0 = \frac{2}{3} \cdot 0 + l$$ $$l = 0$$

Таким образом, уравнение прямой: $y = \frac{2}{3}x$.

б) Прямая $y = \frac{2}{3}x + l$, проходящая через точку $А(9; 2)$:

Подставим точку $(9; 2)$ в уравнение $y = \frac{2}{3}x + l$:

$$2=\frac{2}{3}\cdot 9+l$$

$$2 = \frac{2}{3} \cdot 9 + l$$ $$2=6+l$$

$$2 = 6 + l$$ $$l = -4$$

Таким образом, уравнение прямой: $y = \frac{2}{3}x — 4$.

в) Прямая $y = \frac{2}{3}x + l$, проходящая через точку $М(0; 3)$:

Подставим точку $(0; 3)$ в уравнение $y = \frac{2}{3}x + l$:

$$3=\frac{2}{3}\cdot 0+l$$

$$3 = \frac{2}{3} \cdot 0 + l$$ $$l = 3$$

Таким образом, уравнение прямой: $y = \frac{2}{3}x + 3$.