ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 690 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Найдите координаты точки пересечения прямых 2x+y=2 и x-y=4 и определите, проходит ли через эту точку прямая x+2y=6.
б) Определите, проходят ли прямые 2x-3y=1, x+y=3 и 3x-y=5 через одну точку.

а) Решение системы уравнений:

$$\begin{cases} 2x + y = 2 \\ x — y = 4 \end{cases}$$

Из второго уравнения выразим $y$:

$$x — y = 4 \quad \Rightarrow \quad y = x — 4$$

Подставим $y = x — 4$ в первое уравнение:

$$2x+(x-4)=2$$

$$2x + (x — 4) = 2$$ $$2x+x-4=2$$

$$2x + x — 4 = 2$$ $$3x-4=2$$

$$3x — 4 = 2$$ $$3x=6$$

$$3x = 6$$ $$x = 2$$

Найдем $y$:

$$y = x — 4 = 2 — 4 = -2$$

Получаем решение: $x = 2$, $y = -2$.

Проверка, проходит ли прямая $x + 2y = 6$ через точку $(2; -2)$:

$$x + 2y = 6$$

Подставим $x = 2$ и $y = -2$:

$$2 + 2(-2) = 2 — 4 = -2 \neq 6$$

Прямая $x + 2y = 6$ не проходит через точку $(2; -2)$.

Ответ:

$$\boxed{(2; -2); \text{ прямая } x + 2y = 6 \text{ не проходит через эту точку.}}$$

б) Решение системы уравнений:

$$\begin{cases} x + y = 3 \\ 3x — y = 5 \end{cases}$$

Сложим оба уравнения:

$$(x+y)+(3x-y)=3+5$$

$$(x + y) + (3x — y) = 3 + 5$$ $$4x=8$$

$$4x = 8$$ $$x = 2$$

Подставим $x = 2$ в первое уравнение:

$$x + y = 3$$ $$2 + y = 3$$ $$y = 1$$

• Получаем решение: $x = 2$, $y = 1$.

Проверка, проходит ли прямая $2x — 3y = 1$ через точку $(2; 1)$:

$$2x — 3y = 1$$

Подставим $x = 2$ и $y = 1$:

$$2(2) — 3(1) = 4 — 3 = 1$$

• Прямая $2x — 3y = 1$ проходит через точку $(2; 1)$.

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \text{все прямые проходят через точку }(2;1)\mathrm{.}}}$$

а) Решение системы уравнений:

$$\begin{cases} 2x + y = 2 \\ x — y = 4 \end{cases}$$

Шаг 1: Из второго уравнения выразим $y$.

Мы имеем уравнение:

$$x — y = 4$$

Преобразуем его, чтобы выразить $y$:

$$x — y = 4 \quad \Rightarrow \quad -y = 4 — x \quad \Rightarrow \quad y = x — 4$$

Шаг 2: Подставим $y = x — 4$ в первое уравнение.

Теперь подставим $y = x — 4$ в первое уравнение:

$$2x + y = 2$$

Подставляем $y = x — 4$:

$$2x + (x — 4) = 2$$

Теперь упрощаем:

$$2x+x-4=2$$

$$2x + x — 4 = 2$$ $$3x — 4 = 2$$

Добавляем 4 к обеим частям:

$$3x = 6$$

Делим обе части на 3:

$$x = 2$$

Шаг 3: Найдем $y$.

Теперь, когда мы нашли $x = 2$, подставим его в выражение для $y$:

$$y = x — 4 = 2 — 4 = -2$$

Ответ: Получаем решение системы уравнений: $x = 2$, $y = -2$.

Проверка, проходит ли прямая $x + 2y = 6$ через точку $(2; -2)$.

Проверим, выполняется ли уравнение прямой $x + 2y = 6$ для точки $(2; -2)$.

Подставим $x = 2$ и $y = -2$ в уравнение прямой:

$$x + 2y = 6$$ $$2 + 2(-2) = 2 — 4 = -2$$

Мы видим, что:

$$-2 \neq 6$$

Следовательно, прямая $x + 2y = 6$ не проходит через точку $(2; -2)$.

Ответ:

$$\boxed{(2; -2); \text{ прямая } x + 2y = 6 \text{ не проходит через эту точку.}}$$

б) Решение системы уравнений:

$$\begin{cases} x + y = 3 \\ 3x — y = 5 \end{cases}$$

Шаг 1: Сложим оба уравнения.

Для упрощения решим систему с помощью сложения. Складываем оба уравнения:

$$(x + y) + (3x — y) = 3 + 5$$

Сначала раскрываем скобки и упрощаем:

$$x + y + 3x — y = 8$$ $$4x = 8$$

Теперь делим обе части на 4:

$$x = 2$$

Шаг 2: Подставим $x = 2$ в первое уравнение.

Теперь, когда мы знаем $x = 2$, подставим его в первое уравнение:

$$x + y = 3$$

Подставляем $x = 2$:

$$2 + y = 3$$

Вычитаем 2 из обеих частей:

$$y = 1$$

Ответ: Получаем решение системы уравнений: $x = 2$, $y = 1$.

Проверка, проходит ли прямая $2x — 3y = 1$ через точку $(2; 1)$.

Подставим $x = 2$ и $y = 1$ в уравнение прямой $2x — 3y = 1$:

$$2x-3y=1$$

$$2x — 3y = 1$$ $$2(2) — 3(1) = 4 — 3 = 1$$

Мы видим, что уравнение выполняется:

$$1 = 1$$

Значит, прямая $2x — 3y = 1$ проходит через точку $(2; 1)$.

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \text{все прямые проходят через точку }(2;1)\mathrm{.}}}$$