ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 689 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Запишите уравнения прямых, изображенных на рисунке 4.36.

а) Прямая проходит через точки $(0; 1)$ и $(2; 4)$:

Уравнение прямой: $y = kx + l$

Подставим координаты точки $(0; 1)$:

$$1=0\cdot k+l$$

$$1 = 0 \cdot k + l$$ $$l = 1$$

Теперь подставим координаты точки $(2; 4)$:

$$4 = 2k + l$$

Подставим $l = 1$:

$$4=2k+1$$

$$4 = 2k + 1$$ $$2k=4-1$$

$$2k = 4 — 1$$ $$2k=3$$

$$2k = 3$$ $$k = 1.5$$

Уравнение прямой:

$$y = 1.5x + 1$$

б) Прямая проходит через точки $(-2; 4)$ и $(2; 1)$:

Уравнение прямой: $y = kx + l$

Подставим координаты точки $(-2; 4)$:

$$4 = -2k + l$$

Подставим координаты точки $(2; 1)$:

$$1 = 2k + l$$

Получаем систему уравнений:

$$\begin{cases} 4 = -2k + l \\ 1 = 2k + l \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$(4)-(1)=(-2k+l)-(2k+l)$$

$$(4) — (1) = (-2k + l) — (2k + l)$$ $$3=-4k$$

$$3 = -4k$$ $$k = -\frac{3}{4} = -0.75$$

Подставим $k = -0.75$ в одно из уравнений, например, $1 = 2k + l$:

$$1=2(-0.75)+l$$

$$1 = 2(-0.75) + l$$ $$1=-1.5+l$$

$$1 = -1.5 + l$$ $$l=1+1.5$$

$$l = 1 + 1.5$$ $$l = 2.5$$

Уравнение прямой:

$$y = -0.75x + 2.5$$

Ответ:

$$\boxed{y = 1.5x + 1, \quad y = -0.75x + 2.5}$$

а) Прямая проходит через точки $(0; 1)$ и $(2; 4)$:

Мы ищем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Для этого используем стандартную форму уравнения прямой:

$$y = kx + l,$$

где $k$ — угловой коэффициент (или наклон прямой), а $l$ — ордината точки пересечения прямой с осью $y$.

Шаг 1: Подставим координаты точки $A(0; 1)$ в уравнение прямой

Почнем с того, что подставим первую точку $A(0; 1)$ в уравнение прямой. Подставим $x = 0$ и $y = 1$:

$$1 = k \cdot 0 + l.$$

Это уравнение упрощается до:

$$1 = l.$$

Следовательно, $l = 1$.

Шаг 2: Подставим координаты второй точки $B(2; 4)$ в уравнение прямой

Теперь подставим вторую точку $B(2; 4)$ в уравнение прямой, где $y = 4$ и $x = 2$:

$$4 = k \cdot 2 + l.$$

Мы уже знаем, что $l = 1$, подставим это значение:

$$4 = 2k + 1.$$

Теперь решим это уравнение относительно $k$:

$$2k = 4 — 1 = 3,$$ $$k = \frac{3}{2}.$$

Шаг 3: Запишем уравнение прямой

Теперь, когда мы знаем значения $k = \frac{3}{2}$ и $l = 1$, можем записать уравнение прямой:

$$y = \frac{3}{2}x + 1.$$

б) Прямая проходит через точки $(-2; 4)$ и $(2; 1)$:

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точки $A(-2; 4)$ и $B(2; 1)$.

Шаг 1: Подставим координаты точки $A(-2; 4)$ в уравнение прямой

Начнем с того, что подставим точку $A(-2; 4)$ в уравнение прямой $y = kx + l$, где $y = 4$ и $x = -2$:

$$4 = k \cdot (-2) + l.$$

Упростим:

$$4 = -2k + l \quad \text{(уравнение 1)}.$$

Шаг 2: Подставим координаты точки $B(2; 1)$ в уравнение прямой

Теперь подставим точку $B(2; 1)$, где $y = 1$ и $x = 2$:

$$1 = k \cdot 2 + l.$$

Упростим:

$$1 = 2k + l \quad \text{(уравнение 2)}.$$

Шаг 3: Решим систему уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$$\begin{cases} 4 = -2k + l \\ 1 = 2k + l \end{cases}$$

Вычтем уравнение 1 из уравнения 2, чтобы избавиться от $l$:

$$(1)-(4)=(2k+l)-(-2k+l),$$

$$(1) — (4) = (2k + l) — (-2k + l),$$ $$-3=4k,$$

$$-3 = 4k,$$ $$k = \frac{-3}{4}.$$

Шаг 4: Подставим значение $k = \frac{-3}{4}$ в одно из уравнений

Теперь, когда мы нашли $k = \frac{-3}{4}$, подставим это значение в одно из уравнений, например, в уравнение 1:

$$4=-2\cdot \left(\frac{-3}{4}\right)+l,$$

$$4 = -2 \cdot \left(\frac{-3}{4}\right) + l,$$ $$4=\frac{6}{4}+l,$$

$$4 = \frac{6}{4} + l,$$ $$4=1.5+l,$$

$$4 = 1.5 + l,$$ $$l = 4 — 1.5 = 2.5.$$

Шаг 5: Запишем уравнение прямой

Теперь, когда мы знаем $k = \frac{-3}{4}$ и $l = 2.5$, можем записать уравнение прямой:

$$y = \frac{-3}{4}x + 2.5.$$

Или в десятичном виде:

$$y = -0.75x + 2.5.$$