ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 688 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Запишите уравнение прямой, которая проходит через две данные точки:
а) A (1;3); B (5;-4);
б) A (-1; -1); B (4;3).

а) Точки $A(1; 3)$ и $B(5; -4)$:

Уравнение прямой: $y = kx + l$

Подставим координаты точки $A(1; 3)$:

$$3=k\cdot 1+l$$

$$3 = k \cdot 1 + l$$ $$3 = k + l \quad \text{(1)}$$

Подставим координаты точки $B(5; -4)$:

$$-4=k\cdot 5+l$$

$$-4 = k \cdot 5 + l$$ $$-4 = 5k + l \quad \text{(2)}$$

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} 3 = k + l \\ -4 = 5k + l \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$(-4)-3=(5k+l)-(k+l)$$

$$(-4) — 3 = (5k + l) — (k + l)$$ $$-7=4k$$

$$-7 = 4k$$ $$k = -\frac{7}{4}$$

Подставим $k = -\frac{7}{4}$ в первое уравнение:

$$3=-\frac{7}{4}+l$$

$$3 = -\frac{7}{4} + l$$ $$l=3+\frac{7}{4}$$

$$l = 3 + \frac{7}{4}$$ $$l=\frac{12}{4}+\frac{7}{4}$$

$$l = \frac{12}{4} + \frac{7}{4}$$ $$l = \frac{19}{4}$$

Уравнение прямой:

$$y = -\frac{7}{4}x + \frac{19}{4}$$

или

$$y = -1\frac{3}{4}x + 4\frac{3}{4}$$

б) Точки $A(-1; -1)$ и $B(4; 3)$:

Уравнение прямой: $y = kx + l$

Подставим координаты точки $A(-1; -1)$:

$$-1=k\cdot (-1)+l$$

$$-1 = k \cdot (-1) + l$$ $$-1 = -k + l \quad \text{(1)}$$

Подставим координаты точки $B(4; 3)$:

$$3=k\cdot 4+l$$

$$3 = k \cdot 4 + l$$ $$3 = 4k + l \quad \text{(2)}$$

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} -1 = -k + l \\ 3 = 4k + l \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$3-(-1)=(4k+l)-(-k+l)$$

$$3 — (-1) = (4k + l) — (-k + l)$$ $$4=5k$$

$$4 = 5k$$ $$k = \frac{4}{5}$$

Подставим $k = \frac{4}{5}$ в первое уравнение:

$$-1 = -\frac{4}{5} + l$$ $$l = -1 + \frac{4}{5}$$ $$l = -\frac{5}{5} + \frac{4}{5}$$ $$l = -\frac{1}{5}$$

Уравнение прямой:

$$y = \frac{4}{5}x — \frac{1}{5}$$

или

$$y=0,8x-0,2$$

а) Точки $A(1; 3)$ и $B(5; -4)$:

Нам нужно найти уравнение прямой, проходящей через точки $A(1; 3)$ и $B(5; -4)$. Мы будем использовать общее уравнение прямой:

$$y = kx + l,$$

где $k$ — угловой коэффициент прямой, а $l$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $y$.

Шаг 1: Подставляем координаты точки $A(1; 3)$ в уравнение прямой

Подставим значения $x = 1$ и $y = 3$ в уравнение прямой $y = kx + l$:

$$3 = k \cdot 1 + l$$

Упростим:

$$3 = k + l \quad \text{(1)}.$$

Шаг 2: Подставляем координаты точки $B(5; -4)$ в уравнение прямой

Теперь подставим значения $x = 5$ и $y = -4$ в уравнение прямой $y = kx + l$:

$$-4 = k \cdot 5 + l$$

Упростим:

$$-4 = 5k + l \quad \text{(2)}.$$

Шаг 3: Решаем систему уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$$\begin{cases} 3 = k + l \\ -4 = 5k + l \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы избавиться от $l$:

$$(-4) — 3 = (5k + l) — (k + l)$$

Упростим:

$$-7 = 4k$$

Теперь решим для $k$:

$$k = \frac{-7}{4}.$$

Шаг 4: Подставляем $k = \frac{-7}{4}$ в первое уравнение

Теперь, когда мы нашли $k$, подставим его в первое уравнение системы, чтобы найти $l$:

$$3 = -\frac{7}{4} + l.$$

Решим для $l$:

$$l = 3 + \frac{7}{4}.$$

Приведем к общему знаменателю:

$$l = \frac{12}{4} + \frac{7}{4} = \frac{19}{4}.$$

Шаг 5: Записываем уравнение прямой

Теперь у нас есть значения для $k$ и $l$:

$$k = -\frac{7}{4}, \quad l = \frac{19}{4}.$$

Подставим их в уравнение прямой:

$$y = -\frac{7}{4}x + \frac{19}{4}.$$

Это уравнение прямой, проходящей через точки $A$ и $B$.

Можно записать его и в смешанном виде:

$$y = -1\frac{3}{4}x + 4\frac{3}{4}.$$

б) Точки $A(-1; -1)$ и $B(4; 3)$:

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точки $A(-1; -1)$ и $B(4; 3)$.

Шаг 1: Подставляем координаты точки $A(-1; -1)$ в уравнение прямой

Подставим значения $x = -1$ и $y = -1$ в уравнение прямой $y = kx + l$:

$$-1 = k \cdot (-1) + l$$

Упростим:

$$-1 = -k + l \quad \text{(1)}.$$

Шаг 2: Подставляем координаты точки $B(4; 3)$ в уравнение прямой

Теперь подставим значения $x = 4$ и $y = 3$ в уравнение прямой $y = kx + l$:

$$3 = k \cdot 4 + l$$

Упростим:

$$3 = 4k + l \quad \text{(2)}.$$

Шаг 3: Решаем систему уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$$\begin{cases} -1 = -k + l \\ 3 = 4k + l \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$(3) — (-1) = (4k + l) — (-k + l)$$

Упростим:

$$4 = 5k$$

Теперь решим для $k$:

$$k = \frac{4}{5}.$$

Шаг 4: Подставляем $k = \frac{4}{5}$ в первое уравнение

Теперь, когда мы нашли $k$, подставим его в первое уравнение системы, чтобы найти $l$:

$$-1 = -\frac{4}{5} + l.$$

Решим для $l$:

$$l = -1 + \frac{4}{5}.$$

Приведем к общему знаменателю:

$$l = -\frac{5}{5} + \frac{4}{5} = -\frac{1}{5}.$$

Шаг 5: Записываем уравнение прямой

Теперь у нас есть значения для $k$ и $l$:

$$k = \frac{4}{5}, \quad l = -\frac{1}{5}.$$

Подставим их в уравнение прямой:

$$y = \frac{4}{5}x — \frac{1}{5}.$$

Можно записать его и в десятичном виде:

$$y = 0,8x — 0,2.$$