ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 683 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Салат приготовили из помидоров по 40 р. за килограмм, огурцов по 20 р. за килограмм и перца по 70 р. за килограмм. Получили 8 кг салата по 4 р. за 100 г. Сколько помидоров, огурцов и перца взято для салата, если известно, что масса каждого продукта выражается целым числом килограммов?

Пусть масса помидоров $x$ кг, масса огурцов $y$ кг, а масса перца $z$ кг.

Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} x + y + z = 8 \\ 4x + 2y + 7z = 32 \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на 2:

$$\begin{cases} 2x + 2y + 2z = 16 \\ 4x + 2y + 7z = 32 \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$(4x+2y+7z)-(2x+2y+2z)=32-16$$

$$(4x + 2y + 7z) — (2x + 2y + 2z) = 32 — 16$$ $$2x + 5z = 16$$

Решим это уравнение относительно $x$:

$$x = 8 — \frac{5}{2}z$$

Так как $x$, $y$, и $z$ — целые числа, $z$ должно быть числом, которое делит $5z$ нацело. Следовательно, $z$ может быть только числом 2.

Подставим $z = 2$ в уравнение для $x$:

$$x = 8 — \frac{5}{2} \cdot 2 = 8 — 5 = 3$$

Теперь найдем массу огурцов $y$ из первого уравнения системы:

$$x+y+z=8$$

$$x + y + z = 8$$ $$3+y+2=8$$

$$3 + y + 2 = 8$$ $$y = 8 — 3 — 2 = 3$$

Ответ: $3$ кг помидоров, $3$ кг огурцов и $2$ кг перца.

$$\boxed{{\displaystyle 3,3,2}}$$

Дана система уравнений:

$$\begin{cases} x + y + z = 8 \\ 4x + 2y + 7z = 32 \end{cases}$$

Шаг 1: Умножим первое уравнение на 2

Чтобы упростить систему уравнений и сделать коэффициенты для $y$ одинаковыми, умножим первое уравнение на 2:

$$2(x + y + z) = 2 \cdot 8$$ $$2x + 2y + 2z = 16$$

Теперь система выглядит так:

$$\begin{cases} 2x + 2y + 2z = 16 \quad \text{(1)} \\ 4x + 2y + 7z = 32 \quad \text{(2)} \end{cases}$$

Шаг 2: Вычитаем первое уравнение из второго

Теперь вычитаем первое уравнение из второго. Это позволит нам избавиться от переменной $y$:

$$(4x + 2y + 7z) — (2x + 2y + 2z) = 32 — 16$$

Распишем это:

$$4x — 2x + 2y — 2y + 7z — 2z = 16$$

Упростим:

$$2x + 5z = 16 \quad \text{(3)}$$

Теперь у нас есть новое уравнение: $2x + 5z = 16$.

Шаг 3: Решаем для $x$$x$

Из уравнения (3) выражаем $x$ через $z$:

$$2x = 16 — 5z$$ $$x = \frac{16 — 5z}{2}$$

Теперь мы выразили $x$ через $z$.

Шаг 4: Найдем значение $z$$z$

Поскольку $x$, $y$, и $z$ должны быть целыми числами, нам нужно, чтобы $x = \frac{16 — 5z}{2}$ тоже было целым числом. Для этого выражение $16 — 5z$ должно быть четным числом. Следовательно, $5z$ должно быть четным. Поскольку 5 — нечетное число, $z$ должно быть четным числом, чтобы $5z$ делилось на 2 без остатка. Таким образом, $z$ должно быть целым четным числом.

Попробуем подставить $z = 2$, поскольку это наименьшее четное число.

Шаг 5: Подставляем $z = 2$ в выражение для $x$$x$

Подставим $z = 2$ в выражение для $x$:

$$x = \frac{16 — 5 \cdot 2}{2} = \frac{16 — 10}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Таким образом, $x = 3$.

Шаг 6: Находим значение $y$$y$

Теперь, когда мы знаем, что $x = 3$ и $z = 2$, подставим эти значения в первое уравнение системы $x + y + z = 8$:

$$3 + y + 2 = 8$$ $$y = 8 — 3 — 2 = 3$$

Таким образом, $y = 3$.

Шаг 7: Ответ

Итак, мы нашли все значения:

• $x = 3$ кг — масса помидоров,
• $y = 3$ кг — масса огурцов,
• $z = 2$ кг — масса перца.

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 3,3,2}}$$