ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 682 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Город A, B и C расположены не на одной прямой. Путь из A в B через C на 5 км длиннее, чем прямой путь из A в B. Путь из A в C через B в 4 раза длиннее, чем прямой путь из A в C. Путь из B в C через A равен 85 км. Найдите расстояние между каждыми двумя городами.

Пусть расстояние от $A$ до $B$ равно $x$ км, от $B$ до $C$ — $y$ км, а от $A$ до $C$ — $z$ км.

Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} z + y = x + 5 \\ x + y = 4z \\ x + z = 85 \end{cases}$$

Решение системы:

Из третьего уравнения выразим $x$:

$$x = 85 — z$$

Подставим $x = 85 — z$ в первое и второе уравнения:

$$\begin{cases} z + y = (85 — z) + 5 \\ (85 — z) + y = 4z \end{cases}$$

Упростим каждое уравнение:

$$\begin{cases} z + y = 90 — z \\ 85 — z + y = 4z \end{cases}$$

Перепишем уравнения:

$$\begin{cases} 2z + y = 90 \\ y + 85 = 5z \end{cases}$$

Из второго уравнения выразим $y$:

$$y = 5z — 85$$

Подставим $y = 5z — 85$ в первое уравнение:

$$2z + (5z — 85) = 90$$

Упростим:

$$7z-85=90$$

$$7z — 85 = 90$$ $$7z=175$$

$$7z = 175$$ $$z = 25$$

Найдем $x$ из $x = 85 — z$:

$$x = 85 — 25 = 60$$

Найдем $y$ из $y = 5z — 85$:

$$y = 5 \cdot 25 — 85 = 125 — 85 = 40$$

Ответ: $60$ км от $A$ до $B$; $40$ км от $B$ до $C$; $25$ км от $A$ до $C$.

$$\boxed{60, 40, 25}$$

Задание: Пусть расстояние от $A$ до $B$ равно $x$ км, от $B$ до $C$ — $y$ км, а от $A$ до $C$ — $z$ км.

Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} z + y = x + 5 \\ x + y = 4z \\ x + z = 85 \end{cases}$$

Шаг 1: Выразим $x$ через $z$

Мы начинаем с третьего уравнения $x + z = 85$. Из этого уравнения легко выразить $x$ через $z$:

$$x = 85 — z$$

Теперь мы знаем, что $x$ зависит от $z$.

Шаг 2: Подставим $x = 85 — z$ в другие уравнения

Теперь подставим выражение для $x$ в первое и второе уравнения системы.

• Подставим $x = 85 — z$ в первое уравнение $z + y = x + 5$:

$$z + y = (85 — z) + 5$$

Упростим выражение справа:

$$z + y = 90 — z$$

Теперь мы имеем уравнение:

$$z + y = 90 — z$$

• Подставим $x = 85 — z$ во второе уравнение $x + y = 4z$:

$$(85 — z) + y = 4z$$

Упростим выражение:

$$85 — z + y = 4z$$

Теперь мы имеем уравнение:

$$85 + y = 5z$$

Шаг 3: Упростим систему уравнений

Теперь у нас есть две упрощенные формы уравнений:

$$\begin{cases} 2z + y = 90 \\ y + 85 = 5z \end{cases}$$

Шаг 4: Из второго уравнения выразим $y$

Из второго уравнения $y + 85 = 5z$ выразим $y$:

$$y = 5z — 85$$

Шаг 5: Подставим выражение для $y$ в первое уравнение

Теперь подставим $y = 5z — 85$ в первое уравнение $2z + y = 90$:

$$2z + (5z — 85) = 90$$

Упростим:

$$2z+5z-85=90$$

$$2z + 5z — 85 = 90$$ $$7z-85=90$$

$$7z — 85 = 90$$ $$7z=175$$

$$7z = 175$$ $$z = 25$$

Мы нашли, что $z = 25$.

Шаг 6: Найдем $x$ и $y$

• Теперь, когда мы знаем $z = 25$, подставим это значение в выражение для $x$, которое мы получили на шаге 1:

$$x = 85 — z = 85 — 25 = 60$$

• Подставим $z = 25$ в выражение для $y$, которое мы нашли на шаге 4:

$$y = 5z — 85 = 5 \cdot 25 — 85 = 125 — 85 = 40$$

Шаг 7: Ответ

Мы нашли все значения:

• $x = 60$ км (расстояние от $A$ до $B$),
• $y = 40$ км (расстояние от $B$ до $C$),
• $z = 25$ км (расстояние от $A$ до $C$).

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 60,40,25}}$$