ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 680 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Междугородный автобус проехал от одного города до другого за 17 ч. Некоторое время он ехал со скоростью 35 км/ч, а остальную часть пути — со скоростью 55 км/ч. Определите, сколько часов он ехал со скоростью 35 км/ч и сколько со скоростью 55 км/ч, если его средняя скорость была 50 км/ч.
б) Автомобиль затратил 5 ч на путь от одного города до другого. Часть пути он ехал со скоростью 70 км/ч, а часть пути со скоростью 90 км/ч, и 1 ч был затрачен на остановку. Сколько времени он ехал со скоростью 70 км/ч и сколько со скоростью 90 км/ч, если его средняя скорость была 60 км/ч?

а)

Пусть автобус ехал $x$ ч со скоростью 35 км/ч и $y$ ч со скоростью 55 км/ч.

Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} x + y = 17 \\ \frac{35x + 55y}{17} = 50 \end{cases}$$

Преобразуем второе уравнение:

$$35x + 55y = 850$$

Умножим первое уравнение на 7:

$$\begin{cases} 7x + 7y = 119 \\ 7x + 11y = 170 \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$(7x + 11y) — (7x + 7y) = 170 — 119$$

$$4y = 51$$ $$y = 12\frac{3}{4}$$

Подставим $y = 12\frac{3}{4}$ в первое уравнение:

$$x + y = 17$$

$$x + 12\frac{3}{4} = 17$$

$$x = 17 — 12\frac{3}{4}$$

$$x = 4\frac{1}{4}$$

Значит, со скоростью 35 км/ч автобус ехал:

$$4\frac{1}{4} = 4 + \frac{1}{4} = 4 \text{ ч } 15 \text{ мин.}$$

А со скоростью 55 км/ч автобус ехал:

$$12\frac{3}{4} = 12 + \frac{3}{4} = 12 \text{ ч } 45 \text{ мин.}$$

Ответ: $4$ ч $15$ мин и $12$ ч $45$ мин.

б)

Пусть автомобиль ехал $x$ ч со скоростью 70 км/ч и $y$ ч со скоростью 90 км/ч.

Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} x + y = 5 — 1 \\ \frac{70x + 90y}{5} = 60 \end{cases}$$

Преобразуем второе уравнение:

$$70x + 90y = 300$$

Умножим первое уравнение на 7:

$$\begin{cases} 7x + 7y = 28 \\ 7x + 9y = 30 \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$(7x + 9y) — (7x + 7y) = 30 — 28$$ $$2y = 2$$ $$y = 1$$

Подставим $y = 1$ в первое уравнение:

$$x + y = 4$$ $$x + 1 = 4$$ $$x = 3$$

Ответ: $3$ ч со скоростью 70 км/ч и $1$ ч со скоростью 90 км/ч.

а)

Пусть автобус ехал $x$ ч со скоростью 35 км/ч и $y$ ч со скоростью 55 км/ч.
Задача состоит в том, чтобы найти, сколько времени автобус ехал с каждой из этих скоростей, при условии, что общая продолжительность поездки составила 17 часов, а средняя скорость за весь путь была 50 км/ч.

Составляем систему уравнений:
Сначала запишем два уравнения:

$x + y = 17$ — это общее время поездки.

Средняя скорость на всем пути равна 50 км/ч, и поэтому общее расстояние делится на общее время (17 часов):

$$\frac{35x + 55y}{17} = 50$$

где $35x$ — это расстояние, пройденное автобусом за $x$ часов со скоростью 35 км/ч, а $55y$ — это расстояние за $y$ часов со скоростью 55 км/ч.

Преобразуем второе уравнение:
Умножим обе части второго уравнения на 17, чтобы избавиться от знаменателя:

$$35x + 55y = 850$$

Умножим первое уравнение на 7:
Умножим первое уравнение на 7, чтобы в дальнейшем удобнее работать с числами:

$$7x + 7y = 119$$

Таким образом, система уравнений стала:

$$\begin{cases} 7x + 7y = 119 \\ 35x + 55y = 850 \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:
Теперь вычитаем первое уравнение из второго:

$$(35x + 55y) — (7x + 7y) = 850 — 119$$

Это упрощается до:

$$28x + 48y = 731$$

Упростим дальше:

$$4y = 51$$

Таким образом, получаем:

$$y = 12\frac{3}{4}$$

То есть автобус ехал 12 часов 45 минут со скоростью 55 км/ч.

Подставим значение $y$ в первое уравнение:
Теперь подставим найденное значение $y = 12\frac{3}{4}$ в первое уравнение:

$$x + 12\frac{3}{4} = 17$$

Упростим это уравнение:

$$x = 17 — 12\frac{3}{4} = 4\frac{1}{4}$$

Таким образом, автобус ехал 4 часа 15 минут со скоростью 35 км/ч.

Ответ для части а): автобус ехал 4 часа 15 минут со скоростью 35 км/ч и 12 часов 45 минут со скоростью 55 км/ч.

б)

Пусть автомобиль ехал $x$ ч со скоростью 70 км/ч и $y$ ч со скоростью 90 км/ч.
Задача состоит в том, чтобы найти, сколько времени автомобиль ехал с каждой из этих скоростей, если общее время поездки составило 4 часа, а средняя скорость — 60 км/ч.

Составляем систему уравнений:
Запишем два уравнения:

$x + y = 4$ — это общее время поездки.

Средняя скорость на всем пути равна 60 км/ч, и поэтому общее расстояние делится на общее время (4 часа):

$$\frac{70x + 90y}{4} = 60$$

где $70x$ — это расстояние, пройденное автомобилем за $x$ часов со скоростью 70 км/ч, а $90y$ — это расстояние за $y$ часов со скоростью 90 км/ч.

Преобразуем второе уравнение:
Умножим обе части второго уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$$70x + 90y = 240$$

Умножим первое уравнение на 7:
Умножим первое уравнение на 7:

$$7x + 7y = 28$$

Таким образом, система уравнений стала:

$$\begin{cases} 7x + 7y = 28 \\ 70x + 90y = 240 \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:
Теперь вычитаем первое уравнение из второго:

$$(70x + 90y) — (7x + 7y) = 240 — 28$$

Это упрощается до:

$$63x + 83y = 212$$

Упростим дальше:

$$2y = 2$$

Получаем:

$$y = 1$$

То есть автомобиль ехал 1 час со скоростью 90 км/ч.

Подставим значение $y$ в первое уравнение:
Теперь подставим найденное значение $y = 1$ в первое уравнение:

$$x + 1 = 4$$

Получаем:

$$x = 3$$

Таким образом, автомобиль ехал 3 часа со скоростью 70 км/ч.

Ответ для части б): автомобиль ехал 3 часа со скоростью 70 км/ч и 1 час со скоростью 90 км/ч.