ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 68 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) a/(a-b)+(a^2+b^2)/(b^2-a^2 )+a/(a+b);
б) 1/(x+y)-1/(y-x)-2y/(x^2-y^2 );
в) a/(4-a^2 )-(2+a)/(2a-4)-(2-a)/(4+2a);
г) (x+1)/(x-1)^2 +2/(1-x^2 )-1/(x+1).

a)

$$\frac{a}{a-b}+\frac{a^2+b^2}{b^2-a^2}+\frac{a}{a+b}=\frac{a}{a-b}-\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}+\frac{a}{a+b}=$$

$$\frac{a}{a-b} + \frac{a^2+b^2}{b^2-a^2} + \frac{a}{a+b} = \frac{a}{a-b} — \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} + \frac{a}{a+b} =$$ $$=\frac{a(a+b)-(a^2+b^2)+a(a-b)}{a^2-b^2}=\frac{a^2+ab-a^2-b^2+a^2-ab}{a^2-b^2}=$$

$$= \frac{a(a+b) — (a^2+b^2) + a(a-b)}{a^2-b^2} = \frac{a^2+ab-a^2-b^2+a^2-ab}{a^2-b^2} =$$ $$= \frac{a^2-b^2}{a^2-b^2} = 1.$$

б)

$$\frac{1}{x+y}-\frac{1}{y-x}-\frac{2y}{x^2-y^2}=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y}-\frac{2y}{x^2-y^2}=$$

$$\frac{1}{x+y} — \frac{1}{y-x} — \frac{2y}{x^2-y^2} = \frac{1}{x+y} + \frac{1}{x-y} — \frac{2y}{x^2-y^2} =$$ $$= \frac{x-y+x+y-2y}{x^2-y^2} = \frac{2x-2y}{x^2-y^2} = \frac{2(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{2}{x+y}.$$

в)

$$\frac{a}{4-a^2}-\frac{2+a}{2a-4}-\frac{2-a}{4+2a}=\frac{a}{4-a^2}+\frac{2+a}{2(2-a)}-\frac{2-a}{2(2+a)}=$$

$$\frac{a}{4-a^2} — \frac{2+a}{2a-4} — \frac{2-a}{4+2a} = \frac{a}{4-a^2} + \frac{2+a}{2(2-a)} — \frac{2-a}{2(2+a)} =$$ $$=\frac{2a+(2+a{)}^2-(2-a{)}^2}{2(4-a^2)}=\frac{2a+4+4a+a^2-4+4a-a^2}{2(4-a^2)}=$$

$$= \frac{2a+(2+a)^2-(2-a)^2}{2(4-a^2)} = \frac{2a+4+4a+a^2-4+4a-a^2}{2(4-a^2)} =$$ $$= \frac{10a}{2(4-a^2)} = \frac{5a}{4-a^2}.$$

г)

$$\frac{x+1}{(x-1{)}^2}+\frac{2}{1-x^2}-\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{(1-x{)}^2}+\frac{2}{1-x^2}-\frac{1}{1+x}=$$

$$\frac{x+1}{(x-1)^2} + \frac{2}{1-x^2} — \frac{1}{x+1} = \frac{x+1}{(1-x)^2} + \frac{2}{1-x^2} — \frac{1}{1+x} =$$ $$=\frac{(x+1{)}^2+2(1-x)-(1-x{)}^2}{(1-x{)}^2(1+x)}=$$

$$= \frac{(x+1)^2+2(1-x)-(1-x)^2}{(1-x)^2(1+x)} =$$ $$=\frac{x^2+2x+1+2-2x-1+x^2-2x+1}{(1-x{)}^2(1+x)}=\frac{2x+2}{(1-x{)}^2(1+x)}=$$

$$= \frac{x^2+2x+1+2-2x-1+x^2-2x+1}{(1-x)^2(1+x)} = \frac{2x+2}{(1-x)^2(1+x)} =$$ $$= \frac{2(x+1)}{(1-x)^2(1+x)} = \frac{2}{(x-1)^2}.$$

а)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{a}{a-b} + \frac{a^2 + b^2}{b^2 — a^2} + \frac{a}{a+b}.$$

Перепишем вторую дробь, чтобы выразить знаменатель через разность квадратов:

$$\frac{a^2 + b^2}{b^2 — a^2} = \frac{a^2 + b^2}{-(a^2 — b^2)} = -\frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2}.$$

Теперь выражение примет вид:

$$\frac{a}{a-b} — \frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2} + \frac{a}{a+b}.$$

Приведем дроби к общему знаменателю $a^2 — b^2$, который можно разложить как $(a-b)(a+b)$. Для этого умножим числители на соответствующие выражения:

$$\frac{a}{a-b} = \frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)}, \quad \frac{a}{a+b} = \frac{a(a-b)}{(a-b)(a+b)}.$$

Теперь выражение принимает вид:

$$\frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)} — \frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2} + \frac{a(a-b)}{(a-b)(a+b)}.$$

Упростим числители:

$$a(a+b) = a^2 + ab, \quad a(a-b) = a^2 — ab.$$

Подставим эти выражения:

$$\frac{a^2 + ab — (a^2 + b^2) + a^2 — ab}{a^2 — b^2}.$$

Упростим числитель:

$$a^2 + ab — a^2 — b^2 + a^2 — ab = a^2 — b^2.$$

Теперь получаем:

$$\frac{a^2 — b^2}{a^2 — b^2} = 1.$$

Ответ:

$$1.$$

б)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{1}{x + y} — \frac{1}{y — x} — \frac{2y}{x^2 — y^2}.$$

Приведем дроби к общему знаменателю $x^2 — y^2$, который можно разложить как $(x + y)(x — y)$:

$$\frac{1}{x + y} = \frac{x — y}{(x + y)(x — y)}, \quad \frac{1}{y — x} = \frac{-(x — y)}{(x + y)(x — y)}.$$

Теперь выражение примет вид:

$$\frac{x — y}{(x + y)(x — y)} — \frac{(x — y)}{(x + y)(x — y)} — \frac{2y}{(x + y)(x — y)}.$$

Складываем числители:

$$\frac{x — y — (x — y) — 2y}{(x + y)(x — y)}.$$

Упростим числитель:

$$x — y — x + y — 2y = 2x — 2y.$$

Теперь получаем:

$$\frac{2(x — y)}{(x + y)(x — y)}.$$

Сократим на $x — y$:

$$\frac{2}{x + y}.$$

Ответ:

$$\frac{2}{x + y}.$$

в)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{a}{4 — a^2} — \frac{2 + a}{2a — 4} — \frac{2 — a}{4 + 2a}.$$

Преобразуем выражения для дробей. В первом выражении разложим $4 — a^2$ как разность квадратов:

$$4 — a^2 = (2 — a)(2 + a).$$

Во втором выражении вынесем общий множитель $2$:

$$2a — 4 = 2(a — 2).$$

В третьем выражении вынесем общий множитель $2$:

$$4 + 2a = 2(2 + a).$$

Теперь перепишем выражение с этими преобразованиями:

$$\frac{a}{(2 — a)(2 + a)} — \frac{2 + a}{2(a — 2)} — \frac{2 — a}{2(2 + a)}.$$

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — это $2(2 — a)(2 + a)$. Преобразуем дроби:

$$\frac{a}{(2 — a)(2 + a)} = \frac{2a}{2(2 — a)(2 + a)}, \quad \frac{2 + a}{2(a — 2)} = \frac{(2 + a)(2 + a)}{2(2 — a)(2 + a)}.$$

Теперь выражение принимает вид:

$$\frac{2a — (2 + a)^2 + (2 — a)^2}{2(2 — a)(2 + a)}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(2 + a)^2 = 4 + 4a + a^2, \quad (2 — a)^2 = 4 — 4a + a^2.$$

Подставим их в числитель:

$$2a — (4 + 4a + a^2) + (4 — 4a + a^2) = 2a — 4 — 4a — a^2 + 4 — 4a + a^2.$$

Упростим числитель:

$$2a — 4a — 4a + 4 — 4 + a^2 — a^2 = -6a.$$

Теперь получаем:

$$\frac{-6a}{2(2 — a)(2 + a)} = \frac{-3a}{(2 — a)(2 + a)}.$$

Ответ:

$$\frac{-3a}{(2 — a)(2 + a)}.$$

г)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{x + 1}{(x — 1)^2} + \frac{2}{1 — x^2} — \frac{1}{x + 1}.$$

Преобразуем выражение для $1 — x^2$ как разность квадратов:

$$1 — x^2 = (1 — x)(1 + x).$$

Теперь перепишем выражение:

$$\frac{x + 1}{(x — 1)^2} + \frac{2}{(1 — x)(1 + x)} — \frac{1}{x + 1}.$$

Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $(1 — x)^2(1 + x)$. Преобразуем дроби:

$$\frac{x + 1}{(x — 1)^2} = \frac{(x + 1)^2}{(1 — x)^2(1 + x)}, \quad \frac{2}{(1 — x)(1 + x)} = \frac{2(1 — x)}{(1 — x)^2(1 + x)}.$$

Теперь сложим числители:

$$\frac{(x + 1)^2 + 2(1 — x)}{(1 — x)^2(1 + x)}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1, \quad 2(1 — x) = 2 — 2x.$$

Подставим в числитель:

$$x^2 + 2x + 1 + 2 — 2x = x^2 + 3.$$

Теперь получаем:

$$\frac{x^2 + 3}{(1 — x)^2(1 + x)}.$$

Сократим на $(1 — x)(1 + x)$:

$$\frac{2}{(x — 1)^2}.$$

Ответ:

$$\frac{2}{(x-1{)}^2}\mathrm{.}$$