ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 679 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) В колбу налили некоторое количество 60 %-ного раствора соли и некоторое количество 80 %-ного раствора этой же соли. Получили 35 мл раствора, содержащего 72 % соли. Сколько миллилитров каждого раствора налили в колбу? Решите задачу, используя следующий план:
1) Обозначьте буквами количество 60 %-ного и 80 %-ного растворов соли, налитых в колбу.
2) Запишите уравнение, связывающее эти две величины и общее количество раствора.
3) Определите количество соли в получившемся растворе.
4) Запишите уравнение, связывающее количество соли в 60 %-ном, 80 %-ном и получившемся растворах.
5) Составьте систему и решите ее.
б) Для проведения опыта научный сотрудник химической лаборатории смешал 4 %-ный и 10 %-ный растворы некоторого химического вещества и получил 75 мл 8 %-ного раствора этого вещества. Сколько миллилитров 4 %-ного и сколько миллилитров 10 %-ного раствора было взято?

а)

Пусть в колбу налили $x$ мл 60%-ного раствора соли и $y$ мл 80%-ного раствора соли.

$x + y = 35$;

$0,6x + 0,8y$;

$0,6x + 0,8y = 0,72(x + y)$;

Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} x + y = 35 \\ 0,6x + 0,8y = 0,72(x + y) \end{cases}$$

Преобразуем второе уравнение:

$$0,6x + 0,8y — 0,72x — 0,72y = 0$$

$$-0,12x + 0,08y = 0$$

Умножим все уравнения системы на 100 для удобства:

$$\begin{cases} x + y = 35 \\ -12x + 8y = 0 \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на 2:

$$\begin{cases} 2x + 2y = 70 \\ -12x + 8y = 0 \end{cases}$$

Разделим второе уравнение на 4:

$$\begin{cases} 2x + 2y = 70 \\ -3x + 2y = 0 \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$(2x + 2y) — (-3x + 2y) = 70 — 0$$ $$5x = 70$$ $$x = 14$$

Подставим $x = 14$ в первое уравнение:

$$x + y = 35$$ $$14 + y = 35$$ $$y = 21$$

Ответ: $14$ мл 60%-ного раствора и $21$ мл 80%-ного раствора.

б)

Пусть было взято $x$ мл 4%-ного раствора и $y$ мл 10%-ного растворов.
Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} x + y = 75 \\ 0,04x + 0,1y = 0,08 \cdot 75 \end{cases}$$

Преобразуем второе уравнение:

$$0,04x + 0,1y = 6$$

Умножим все уравнения системы на 100 для удобства:

$$\begin{cases} x + y = 75 \\ 4x + 10y = 600 \end{cases}$$

Разделим второе уравнение на 2:

$$\begin{cases} x + y = 75 \\ 2x + 5y = 300 \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на 2:

$$\begin{cases} 2x + 2y = 150 \\ 2x + 5y = 300 \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$(2x + 5y) — (2x + 2y) = 300 — 150$$

$$3y = 150$$

$$y = 50$$

Подставим $y = 50$ в первое уравнение:

$$x + y = 75$$

$$x + 50 = 75$$

$$x = 25$$

Ответ: $25$ мл 4%-ного раствора и $50$ мл 10%-ного раствора.

а)

Пусть в колбу налили $x$ мл 60%-ного раствора соли и $y$ мл 80%-ного раствора соли.
В данном случае $x$ и $y$ — это объемы растворов, которые мы будем искать.

Из условия задачи известно, что общий объем раствора в колбе равен 35 мл. Это можно записать как уравнение:

$$x + y = 35$$

Следующим шагом нам нужно выразить содержание соли в растворе. Для этого используем данные о концентрации растворов:

• В 60%-ном растворе на 100 мл содержится 60 г соли, значит на $x$ мл этого раствора содержится $0,6x$ граммов соли.
• В 80%-ном растворе на 100 мл содержится 80 г соли, значит на $y$ мл этого раствора содержится $0,8y$ граммов соли.

Итого, общее количество соли в растворе равно $0,6x + 0,8y$.

Также известно, что общая концентрация соли в смешанном растворе составляет 72%. Это означает, что общее количество соли в 35 мл раствора составляет $0,72 \cdot 35 = 25,2$ граммов. Таким образом, получаем уравнение:

$$0,6x + 0,8y = 25,2$$

Теперь составим систему уравнений:

$$\begin{cases} x + y = 35 \\ 0,6x + 0,8y = 25,2 \end{cases}$$

Преобразуем второе уравнение, чтобы избавиться от десятичных коэффициентов. Для этого умножим все члены на 10:

$$\begin{cases} x + y = 35 \\ 6x + 8y = 252 \end{cases}$$

Для удобства умножим первое уравнение на 6, чтобы привести коэффициенты при $x$ в обоих уравнениях к одинаковым:

$$\begin{cases} 6x + 6y = 210 \\ 6x + 8y = 252 \end{cases}$$

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

$$(6x + 8y) — (6x + 6y) = 252 — 210$$ $$2y = 42$$ $$y = 21$$

Подставим найденное значение $y = 21$ в первое уравнение системы:

$$x + 21 = 35$$ $$x = 35 — 21 = 14$$

Таким образом, $x = 14$ мл и $y = 21$ мл.

Ответ для части а): $14$ мл 60%-ного раствора и $21$ мл 80%-ного раствора.

б)

Пусть было взято $x$ мл 4%-ного раствора и $y$ мл 10%-ного раствора.

Из условия задачи известно, что общий объем раствора равен 75 мл. Запишем это в виде уравнения:

$$x + y = 75$$

Теперь вычислим содержание соли в растворе.

• В 4%-ном растворе на 100 мл содержится 4 г соли, значит на $x$ мл этого раствора содержится $0,04x$ граммов соли.
• В 10%-ном растворе на 100 мл содержится 10 г соли, значит на $y$ мл этого раствора содержится $0,1y$ граммов соли.

Общее количество соли в смеси равно $0,04x + 0,1y$.
По условию задачи, концентрация соли в итоговом растворе составляет 8%, то есть общее количество соли в 75 мл раствора равно $0,08 \cdot 75 = 6$ граммов. Получаем уравнение:

$$0,04x + 0,1y = 6$$

Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} x + y = 75 \\ 0,04x + 0,1y = 6 \end{cases}$$

Умножим оба уравнения на 100, чтобы избавиться от десятичных коэффициентов:

$$\begin{cases} 100x + 100y = 7500 \\ 4x + 10y = 600 \end{cases}$$

Разделим второе уравнение на 2, чтобы упростить его:

$$\begin{cases} 100x + 100y = 7500 \\ 2x + 5y = 300 \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $x$ в обоих уравнениях совпали:

$$\begin{cases} 2x + 2y = 150 \\ 2x + 5y = 300 \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$(2x + 5y) — (2x + 2y) = 300 — 150$$ $$3y = 150$$ $$y = 50$$

Подставим $y = 50$ в первое уравнение системы:

$$x + 50 = 75$$ $$x = 75 — 50 = 25$$

Таким образом, $x = 25$ мл и $y = 50$ мл.

Ответ для части б): $25$ мл 4%-ного раствора и $50$ мл 10%-ного раствора.