ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 678 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

В магазине смешали конфеты по 100 р. за килограмм и по 150 р. за килограмм и получили смесь по 120 р. за килограмм. Сколько граммов конфет того и другого сорта содержится в одном килограмме смеси?

Пусть в 1 кг смеси содержится $x$ кг конфет по 110 руб. и $y$ кг конфет по 150 руб.

Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} x + y = 1 & | \cdot 11 \\ 110x + 150y = 120 & | : 10 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 11x + 11y = 11 \\ 11x + 15y = 12 \end{cases} — \begin{cases} 4y = 1 \\ x + y = 1 \end{cases}$$ $$\begin{cases} y = \frac{1}{4} \\ x = 1 — \frac{1}{4} \end{cases}$$ $$\begin{cases} x = \frac{3}{4} \\ y = \frac{1}{4} \end{cases}$$

$x = \frac{3}{4} \cdot 1000 = 3 \cdot 250 = 750$ (г) — конфет по 110 руб.

$y = \frac{1}{4} \cdot 1000 = 250$ (г) — конфет по 150 руб.

Ответ: 750 г и 250 г.

Шаг 1: Составим систему уравнений

Из условия задачи составим систему уравнений:

Сумма весов конфет составляет 1 кг:

$$x + y = 1$$

Стоимость смеси составляет 120 руб. В смеси $x$ кг конфет по 110 руб. и $y$ кг конфет по 150 руб. Следовательно, стоимость смеси выражается как:

$$110x + 150y = 120$$

Теперь у нас есть система уравнений:

$$\begin{cases} x + y = 1 \\ 110x + 150y = 120 \end{cases}$$

Шаг 2: Умножим оба уравнения на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей

Чтобы избавиться от десятичных дробей в уравнении с ценами, умножим оба уравнения на 100:

Умножаем первое уравнение на 11:

$$(x + y = 1) \cdot 11 \quad \Rightarrow \quad 11x + 11y = 11$$

Умножаем второе уравнение на 10:

$$(110x + 150y = 120) \cdot 10 \quad \Rightarrow \quad 11x + 15y = 12$$

Теперь система выглядит так:

$$\begin{cases} 11x + 11y = 11 \\ 11x + 15y = 12 \end{cases}$$

Шаг 3: Вычитаем уравнения

Теперь, чтобы избавиться от $11x$, вычитаем первое уравнение из второго:

$$(11x + 15y) — (11x + 11y) = 12 — 11$$

Получаем:

$$4y = 1$$

Решаем для $y$:

$$y = \frac{1}{4}$$

Шаг 4: Находим значение $x$

Теперь подставим найденное значение $y = \frac{1}{4}$ в первое уравнение $x + y = 1$:

$$x + \frac{1}{4} = 1$$

Решаем для $x$:

$$x = 1 — \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

Шаг 5: Переводим в граммы

Теперь, когда мы нашли значения $x = \frac{3}{4}$ и $y = \frac{1}{4}$ в килограммах, переведём их в граммы (так как 1 кг = 1000 г):

Количество конфет по 110 руб.:

$$x = \frac{3}{4} \cdot 1000 = 3 \cdot 250 = 750 \, \text{г}$$

Количество конфет по 150 руб.:

$$y = \frac{1}{4} \cdot 1000 = 250 \, \text{г}$$

Шаг 6: Ответ

Ответ: в смеси 750 г конфет по 110 руб. и 250 г конфет по 150 руб.

Проверка решения:

Проверим, что сумма весов составляет 1 кг:

$$750 \, \text{г} + 250 \, \text{г} = 1000 \, \text{г} = 1 \, \text{кг} \quad (\text{истинно}).$$

Проверим, что стоимость смеси составляет 120 руб:

$$110 \cdot \frac{3}{4} + 150 \cdot \frac{1}{4} = 82.5 + 37.5 = 120 \quad (\text{истинно}).$$

Ответ: решение верное, 750 г и 250 г.