ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 677 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Имеется 40 красных фишек и 45 синих. Их раскладывают на плоской поверхности следующим образом: красные фишки образуют вершины правильного шестиугольника, в центр которого кладется синяя фишка, а синие фишки образуют вершины квадрата, в центр которого кладется красная фишка. Существует ли такой способ разложения фишек, при котором все они будут использованы? Если существует, то сколько шестиугольников и сколько квадратов получится?

Пусть шестиугольников $x$ шт., а квадратов $y$ шт.

Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} 6x + y = 40 & | \cdot 4 \\ x + 4y = 45 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 24x + 4y = 160 \\ x + 4y = 45 \end{cases} — \begin{cases} 23x = 115 \\ 6x + y = 40 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x = 5 \\ y = 40 — 6 \cdot 5 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x = 5 \\ y = 10 \end{cases}$$

Ответ: 5 шестиугольников и 10 квадратов.

Шаг 1: Составление системы уравнений

Из условий задачи составим систему уравнений:

Уравнение, описывающее количество шестиугольников и квадратов:

$$6x + y = 40$$

Уравнение, описывающее другое соотношение между количеством шестиугольников и квадратов:

$$x + 4y = 45$$

Теперь у нас есть система:

$$\begin{cases} 6x + y = 40 \\ x + 4y = 45 \end{cases}$$

Шаг 2: Умножим первое уравнение на 4, чтобы упростить систему

Умножим первое уравнение на 4, чтобы привести коэффициенты при $y$ к одинаковым:

$$(6x + y = 40) \cdot 4 \quad \Rightarrow \quad 24x + 4y = 160$$

Теперь наша система выглядит так:

$$\begin{cases} 24x + 4y = 160 \\ x + 4y = 45 \end{cases}$$

Шаг 3: Вычитаем уравнения

Вычитаем второе уравнение из первого:

$$(24x + 4y) — (x + 4y) = 160 — 45$$

Получаем:

$$24x — x = 115$$ $$23x = 115$$

Шаг 4: Находим значение $x$

Решаем для $x$:

$$x = \frac{115}{23} = 5$$

Шаг 5: Подставляем значение $x = 5$ в одно из уравнений

Теперь, зная $x = 5$, подставим это значение в одно из исходных уравнений. Используем уравнение $6x + y = 40$:

$$6 \cdot 5 + y = 40$$

Получаем:

$$30 + y = 40$$

Решаем для $y$:

$$y = 40 — 30 = 10$$

Шаг 6: Итоговое решение

Теперь, когда мы нашли $x = 5$ и $y = 10$, можем записать окончательный ответ:

Ответ: 5 шестиугольников и 10 квадратов.

Проверка решения:

Проверим найденные значения $x = 5$ и $y = 10$ в исходных уравнениях.

Подставим в первое уравнение:

$$6x + y = 40 \quad \Rightarrow \quad 6 \cdot 5 + 10 = 30 + 10 = 40 \quad (\text{истинно}).$$

Подставим во второе уравнение:

$$x + 4y = 45 \quad \Rightarrow \quad 5 + 4 \cdot 10 = 5 + 40 = 45 \quad (\text{истинно}).$$

Ответ: решение верное. 5 шестиугольников и 10 квадратов.