ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 67 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\frac{m+n}{m-n} + \frac{4mn}{n^2-m^2}$;

б) $\frac{1-a}{a^2-a} — \frac{1+a}{1-a^2}$;

в) $\frac{b}{ab-a^2} + \frac{a}{ab-b^2}$;

г) $\frac{4}{c^2-25} + \frac{2}{5c-c^2}$;

д) $\frac{x^2}{(x-3)^2} + \frac{x}{3-x}$;

е) $\frac{y^2}{(1-y)^2} — \frac{y+1}{y-1}$.

а) $\frac{m+n}{m-n}+\frac{4mn}{n^2-m^2}=\frac{m+n}{m-n}-\frac{4mn}{m^2-n^2}=\frac{(m+n{)}^2-4mn}{m^2-n^2}=\frac{m^2+2mn+n^2-4mn}{m^2-n^2}=$

$\frac{m^2-2mn+n^2}{m^2-n^2}=\frac{(m-n{)}^2}{(m-n)(m+n)}=\frac{m-n}{m+n}$.

б) $\frac{1-a}{a^2-a}-\frac{1+a}{1-a^2}=\frac{1-a}{a(a-1)}+\frac{1+a}{a^2-1}=\frac{(1-a)(a+1)+a(1+a)}{a(a-1)(a+1)}=$

$\frac{1-a^2+a+a^2}{a(a^2-1)}=\frac{1+a}{a(a-1)}$.

в) $\frac{b}{ab-a^2}+\frac{a}{ab-b^2}=\frac{b}{a(b-a)}+\frac{a}{b(a-b)}=\frac{b^2-a^2}{ab(b-a)}=$

$\frac{(b-a)(b+a)}{ab(b-a)}=\frac{b+a}{ab}$.

г) $\frac{4}{c^2-25}+\frac{2}{5c-c^2}=\frac{4}{(c-5)(c+5)}-\frac{2}{c(c-5)}=\frac{4c-2(c+5)}{c(c-5)(c+5)}=$

$\frac{2c-10}{c(c-5)(c+5)}=\frac{2}{c(c+5)}$.

д) $\frac{x^2}{(x-3{)}^2}+\frac{x}{3-x}=\frac{x^2}{(3-x{)}^2}+\frac{x}{3-x}=\frac{x^2+x(3-x)}{(3-x{)}^2}=$

$\frac{x^2+3x-x^2}{(3-x{)}^2}=\frac{3x}{(3-x{)}^2}$.

е) $\frac{y^2}{(1-y{)}^2}-\frac{y+1}{y-1}=\frac{y^2}{(y-1{)}^2}-\frac{y+1}{y-1}=\frac{y^2-(y+1)(y-1)}{(y-1{)}^2}=\frac{y^2-y^2+1}{(y-1{)}^2}=\frac{1}{(y-1{)}^2}$.

а)

$$\frac{m+n}{m-n}+\frac{4mn}{n^2-m^2}$$

Шаг 1. Заметим, что $n^2-m^2=-(m^2-n^2)$, тогда:

$$\frac{4mn}{n^2-m^2}=-\frac{4mn}{m^2-n^2}$$

Шаг 2. Перепишем сумму:

$$\frac{m+n}{m-n}-\frac{4mn}{m^2-n^2}$$

Шаг 3. Запишем знаменатель как произведение разности квадратов:

$$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$$

Шаг 4. Приведём дроби к общему знаменателю $(m-n)(m+n)$:

$$\frac{(m+n{)}^2}{(m-n)(m+n)}-\frac{4mn}{(m-n)(m+n)}=\frac{(m+n{)}^2-4mn}{(m-n)(m+n)}$$

Шаг 5. Раскроем скобки в числителе:

$$(m+n{)}^2-4mn=m^2+2mn+n^2-4mn=m^2-2mn+n^2$$

Шаг 6. Распознаём квадрат разности:

$$m^2-2mn+n^2=(m-n{)}^2$$

Шаг 7. Запишем итог:

$$\frac{(m-n{)}^2}{(m-n)(m+n)}=\frac{m-n}{m+n}$$

б)

$$\frac{1-a}{a^2-a}-\frac{1+a}{1-a^2}$$

Шаг 1. Вынесем общий множитель в знаменателях:

$$a^2-a=a(a-1),1-a^2=-(a^2-1)=-(a-1)(a+1)$$

Шаг 2. Перепишем дроби с учётом знаков:

$$\frac{1-a}{a(a-1)}-\frac{1+a}{-(a-1)(a+1)}=\frac{1-a}{a(a-1)}+\frac{1+a}{(a-1)(a+1)}$$

Шаг 3. Общий знаменатель — $a(a-1)(a+1)$.

Шаг 4. Приведём дроби:

$$\frac{(1-a)(a+1)}{a(a-1)(a+1)}+\frac{a(1+a)}{a(a-1)(a+1)}=\frac{(1-a)(a+1)+a(1+a)}{a(a^2-1)}$$

Шаг 5. Раскроем скобки в числителе:

$$1-a^2+a+a^2=1+a$$

Шаг 6. Запишем итог:

$$\frac{1+a}{a(a-1)}$$

в)

$$\frac{b}{ab-a^2}+\frac{a}{ab-b^2}$$

Шаг 1. Вынесем общий множитель в знаменателях:

$$ab-a^2=a(b-a),ab-b^2=b(a-b)$$

Шаг 2. Запишем дроби:

$$\frac{b}{a(b-a)}+\frac{a}{b(a-b)}$$

Шаг 3. Заметим, что $a-b=-(b-a)$, тогда:

$$\frac{a}{b(a-b)}=-\frac{a}{b(b-a)}$$

Шаг 4. Запишем сумму:

$$\frac{b}{a(b-a)}-\frac{a}{b(b-a)}=\frac{b^2-a^2}{ab(b-a)}$$

Шаг 5. Распознаём разность квадратов в числителе:

$$b^2-a^2=(b-a)(b+a)$$

Шаг 6. Запишем итог:

$$\frac{(b-a)(b+a)}{ab(b-a)}=\frac{b+a}{ab}$$

г)

$$\frac{4}{c^2-25}+\frac{2}{5c-c^2}$$

Шаг 1. Разложим знаменатели:

$$c^2-25=(c-5)(c+5),5c-c^2=-(c^2-5c)=-c(c-5)$$

Шаг 2. Запишем дроби с учётом знака:

$$\frac{4}{(c-5)(c+5)}-\frac{2}{c(c-5)}$$

Шаг 3. Общий знаменатель — $c(c-5)(c+5)$.

Шаг 4. Приведём дроби:

$$\frac{4c}{c(c-5)(c+5)}-\frac{2(c+5)}{c(c-5)(c+5)}=\frac{4c-2(c+5)}{c(c-5)(c+5)}$$

Шаг 5. Раскроем скобки в числителе:

$$4c-2c-10=2c-10$$

Шаг 6. Запишем итог:

$$\frac{2(c-5)}{c(c-5)(c+5)}=\frac{2}{c(c+5)}$$

д)

$$\frac{x^2}{(x-3{)}^2}+\frac{x}{3-x}$$

Шаг 1. Заметим, что $3-x=-(x-3)$, значит:

$$\frac{x}{3-x}=-\frac{x}{x-3}$$

Шаг 2. Запишем сумму:

$$\frac{x^2}{(x-3{)}^2}-\frac{x}{x-3}=\frac{x^2-x(x-3)}{(x-3{)}^2}$$

Шаг 3. Раскроем скобки в числителе:

$$x^2-x^2+3x=3x$$

Шаг 4. Итог:

$$\frac{3x}{(x-3{)}^2}$$

е)

$$\frac{y^2}{(1-y{)}^2}-\frac{y+1}{y-1}$$

Шаг 1. Заметим, что $1-y=-(y-1)$, значит:

$$\frac{y^2}{(1-y{)}^2}=\frac{y^2}{(y-1{)}^2}$$

Шаг 2. Запишем разность:

$$\frac{y^2}{(y-1{)}^2}-\frac{y+1}{y-1}=\frac{y^2-(y+1)(y-1)}{(y-1{)}^2}$$

Шаг 3. Раскроем скобки в числителе:

$$(y+1)(y-1)=y^2-1$$

Шаг 4. Упростим числитель:

$$y^2-(y^2-1)=1$$

Шаг 5. Итог:

$$\frac{1}{(y-1{)}^2}$$