ГДЗ по Алгебре 8 Класс Учебник 📕 Дорофеев, Суворова — Все Части

Алгебра

8 класс учебник Дорофеев

8 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Авторы

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

Год

2022.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник по Алгебре для 8-го класса авторов Дорофеева и Суворова — это современное и продуманное пособие, которое помогает школьникам не только освоить базовые математические понятия, но и развить логическое мышление и умение применять знания на практике. Книга построена так, чтобы учебный материал был доступен и интересен даже тем, кто раньше испытывал трудности с математикой.

Что выделяет этот учебник среди других:

Понятное изложение материала. Каждая тема объясняется простым и доступным языком, что облегчает понимание даже сложных понятий.
Большое количество примеров и задач. Учебник предлагает разнообразные упражнения — от простых до более сложных, что помогает закрепить пройденный материал.
Интерактивный подход. В книге есть задания, которые побуждают учеников к самостоятельному поиску решений и развитию творческого мышления.
Связь с реальной жизнью. Многие задачи связаны с практическими ситуациями, что делает математику более живой и понятной.
Разнообразие форм подачи информации. Здесь используются таблицы, схемы, иллюстрации, что помогает лучше усваивать материал и удерживать внимание учащихся.

ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 67 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задача

Упростите выражение:
а) (m+n)/(m-n)+4mn/(n^2-m^2 );
б) (1-a)/(a^2-a)-(1+a)/(1-a^2 );
в) b/(ab-a^2 )+a/(ab-b^2 );
г) 4/(c^2-25)+2/(5c-c^2 );
д) x^2/(x-3)^2 +x/(3-x);
е) y^2/(1-y)^2 -(y+1)/(y-1).

Краткий ответ:

а) $\frac{m + n}{m - n} + \frac{4 m n}{n^{2} - m^{2}} = \frac{m + n}{m - n} - \frac{4 m n}{m^{2} - n^{2}} = \frac{(m + n)^{2} - 4 m n}{m^{2} - n^{2}} = \frac{m^{2} + 2 m n + n^{2} - 4 m n}{m^{2} - n^{2}} =$

$\frac{m^{2} - 2 m n + n^{2}}{m^{2} - n^{2}} = \frac{(m - n)^{2}}{(m - n) (m + n)} = \frac{m - n}{m + n}$ .

б) $\frac{1 - a}{a^{2} - a} - \frac{1 + a}{1 - a^{2}} = \frac{1 - a}{a (a - 1)} + \frac{1 + a}{a^{2} - 1} = \frac{(1 - a) (a + 1) + a (1 + a)}{a (a - 1) (a + 1)} =$

$\frac{1 - a^{2} + a + a^{2}}{a (a^{2} - 1)} = \frac{1 + a}{a (a - 1)}$ .

в) $\frac{b}{a b - a^{2}} + \frac{a}{a b - b^{2}} = \frac{b}{a (b - a)} + \frac{a}{b (a - b)} = \frac{b^{2} - a^{2}}{a b (b - a)} =$

$\frac{(b - a) (b + a)}{a b (b - a)} = \frac{b + a}{a b}$ .

г) $\frac{4}{c^{2} - 25} + \frac{2}{5 c - c^{2}} = \frac{4}{(c - 5) (c + 5)} - \frac{2}{c (c - 5)} = \frac{4 c - 2 (c + 5)}{c (c - 5) (c + 5)} =$

$\frac{2 c - 10}{c (c - 5) (c + 5)} = \frac{2}{c (c + 5)}$ .

д) $\frac{x^{2}}{(x - 3)^{2}} + \frac{x}{3 - x} = \frac{x^{2}}{(3 - x)^{2}} + \frac{x}{3 - x} = \frac{x^{2} + x (3 - x)}{(3 - x)^{2}} =$

$\frac{x^{2} + 3 x - x^{2}}{(3 - x)^{2}} = \frac{3 x}{(3 - x)^{2}}$ .

е) $\frac{y^{2}}{(1 - y)^{2}} - \frac{y + 1}{y - 1} = \frac{y^{2}}{(y - 1)^{2}} - \frac{y + 1}{y - 1} = \frac{y^{2} - (y + 1) (y - 1)}{(y - 1)^{2}} = \frac{y^{2} - y^{2} + 1}{(y - 1)^{2}} = \frac{1}{(y - 1)^{2}}$ .

Подробный ответ:

а)

$\frac{m + n}{m - n} + \frac{4 m n}{n^{2} - m^{2}}$

Шаг 1. Заметим, что $n^{2} - m^{2} = - (m^{2} - n^{2})$ , тогда:

$\frac{4 m n}{n^{2} - m^{2}} = - \frac{4 m n}{m^{2} - n^{2}}$

Шаг 2. Перепишем сумму:

$\frac{m + n}{m - n} - \frac{4 m n}{m^{2} - n^{2}}$

Шаг 3. Запишем знаменатель как произведение разности квадратов:

$m^{2} - n^{2} = (m - n) (m + n)$

Шаг 4. Приведём дроби к общему знаменателю $(m - n) (m + n)$ :

$\frac{(m + n)^{2}}{(m - n) (m + n)} - \frac{4 m n}{(m - n) (m + n)} = \frac{(m + n)^{2} - 4 m n}{(m - n) (m + n)}$

Шаг 5. Раскроем скобки в числителе:

$(m + n)^{2} - 4 m n = m^{2} + 2 m n + n^{2} - 4 m n = m^{2} - 2 m n + n^{2}$

Шаг 6. Распознаём квадрат разности:

$m^{2} - 2 m n + n^{2} = (m - n)^{2}$

Шаг 7. Запишем итог:

$\frac{(m - n)^{2}}{(m - n) (m + n)} = \frac{m - n}{m + n}$

б)

$\frac{1 - a}{a^{2} - a} - \frac{1 + a}{1 - a^{2}}$

Шаг 1. Вынесем общий множитель в знаменателях:

$a^{2} - a = a (a - 1), 1 - a^{2} = - (a^{2} - 1) = - (a - 1) (a + 1)$

Шаг 2. Перепишем дроби с учётом знаков:

$\frac{1 - a}{a (a - 1)} - \frac{1 + a}{- (a - 1) (a + 1)} = \frac{1 - a}{a (a - 1)} + \frac{1 + a}{(a - 1) (a + 1)}$

Шаг 3. Общий знаменатель — $a (a - 1) (a + 1)$ .

Шаг 4. Приведём дроби:

$\frac{(1 - a) (a + 1)}{a (a - 1) (a + 1)} + \frac{a (1 + a)}{a (a - 1) (a + 1)} = \frac{(1 - a) (a + 1) + a (1 + a)}{a (a^{2} - 1)}$

Шаг 5. Раскроем скобки в числителе:

$1 - a^{2} + a + a^{2} = 1 + a$

Шаг 6. Запишем итог:

$\frac{1 + a}{a (a - 1)}$

в)

$\frac{b}{a b - a^{2}} + \frac{a}{a b - b^{2}}$

Шаг 1. Вынесем общий множитель в знаменателях:

$a b - a^{2} = a (b - a), a b - b^{2} = b (a - b)$

Шаг 2. Запишем дроби:

$\frac{b}{a (b - a)} + \frac{a}{b (a - b)}$

Шаг 3. Заметим, что $a - b = - (b - a)$ , тогда:

$\frac{a}{b (a - b)} = - \frac{a}{b (b - a)}$

Шаг 4. Запишем сумму:

$\frac{b}{a (b - a)} - \frac{a}{b (b - a)} = \frac{b^{2} - a^{2}}{a b (b - a)}$

Шаг 5. Распознаём разность квадратов в числителе:

$b^{2} - a^{2} = (b - a) (b + a)$

Шаг 6. Запишем итог:

$\frac{(b - a) (b + a)}{a b (b - a)} = \frac{b + a}{a b}$

г)

$\frac{4}{c^{2} - 25} + \frac{2}{5 c - c^{2}}$

Шаг 1. Разложим знаменатели:

$c^{2} - 25 = (c - 5) (c + 5), 5 c - c^{2} = - (c^{2} - 5 c) = - c (c - 5)$

Шаг 2. Запишем дроби с учётом знака:

$\frac{4}{(c - 5) (c + 5)} - \frac{2}{c (c - 5)}$

Шаг 3. Общий знаменатель — $c (c - 5) (c + 5)$ .

Шаг 4. Приведём дроби:

$\frac{4 c}{c (c - 5) (c + 5)} - \frac{2 (c + 5)}{c (c - 5) (c + 5)} = \frac{4 c - 2 (c + 5)}{c (c - 5) (c + 5)}$

Шаг 5. Раскроем скобки в числителе:

$4 c - 2 c - 10 = 2 c - 10$

Шаг 6. Запишем итог:

$\frac{2 (c - 5)}{c (c - 5) (c + 5)} = \frac{2}{c (c + 5)}$

д)

$\frac{x^{2}}{(x - 3)^{2}} + \frac{x}{3 - x}$

Шаг 1. Заметим, что $3 - x = - (x - 3)$ , значит:

$\frac{x}{3 - x} = - \frac{x}{x - 3}$

Шаг 2. Запишем сумму:

$\frac{x^{2}}{(x - 3)^{2}} - \frac{x}{x - 3} = \frac{x^{2} - x (x - 3)}{(x - 3)^{2}}$

Шаг 3. Раскроем скобки в числителе:

$x^{2} - x^{2} + 3 x = 3 x$

Шаг 4. Итог:

$\frac{3 x}{(x - 3)^{2}}$

е)

$\frac{y^{2}}{(1 - y)^{2}} - \frac{y + 1}{y - 1}$

Шаг 1. Заметим, что $1 - y = - (y - 1)$ , значит:

$\frac{y^{2}}{(1 - y)^{2}} = \frac{y^{2}}{(y - 1)^{2}}$

Шаг 2. Запишем разность:

$\frac{y^{2}}{(y - 1)^{2}} - \frac{y + 1}{y - 1} = \frac{y^{2} - (y + 1) (y - 1)}{(y - 1)^{2}}$

Шаг 3. Раскроем скобки в числителе:

$(y + 1) (y - 1) = y^{2} - 1$

Шаг 4. Упростим числитель:

$y^{2} - (y^{2} - 1) = 1$

Шаг 5. Итог:

$\frac{1}{(y - 1)^{2}}$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Алгебра