ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 663 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению:
а) x^2-y^2=64
б) x^2-y^2=15
в) x^2-y^2=44

а)

$$x^2 — y^2 = 64$$

$$(x — y)(x + y) = 64$$

$x > y, \quad x — y < x + y;$

$$\begin{cases} x — y = 1 \\ x + y = 64 \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2x = 65 \\ x — y = 1 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x = 32.5 \\ x — y = 1 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x = 32.5 \\ y = 32.5 — 1 \end{cases}$$

не натуральные;

$$\begin{cases} x — y = 2 \\ x + y = 32 \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2x = 34 \\ x — y = 2 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x = 17 \\ x — y = 2 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x = 17 \\ y = 17 — 2 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x = 17 \\ y = 15 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x — y = 4 \\ x + y = 16 \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2x = 20 \\ x — y = 4 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x = 10 \\ x — y = 4 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x = 10 \\ y = 10 — 4 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x = 10 \\ y = 6 \end{cases}$$

Ответ: $17$ и $15$ или $10$ и $6$.

б)

$$x^2 — y^2 = 15$$

$$(x — y)(x + y) = 15$$

$x > y, \quad x — y < x + y;$

$$\begin{cases} x — y = 1 \\ x + y = 15 \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2x = 16 \\ x — y = 1 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x = 8 \\ x — y = 1 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x = 8 \\ y = 8 — 1 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x = 8 \\ y = 7 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x — y = 3 \\ x + y = 5 \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2x = 8 \\ x — y = 3 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x = 4 \\ x — y = 3 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x = 4 \\ y = 4 — 3 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x = 4 \\ y = 1 \end{cases}$$

Ответ: $8$ и $7$ или $4$ и $1$.

в)

$$x^2 — y^2 = 44$$ $$(x — y)(x + y) = 44$$

$x > y, \quad x — y < x + y;$

$$\begin{cases} x — y = 1 \\ x + y = 44 \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2x = 45 \\ x — y = 1 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x = 22.5 \\ x — y = 1 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x = 22.5 \\ y = 22.5 — 1 \end{cases}$$

не натуральные;

$$\begin{cases} x — y = 2 \\ x + y = 22 \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2x = 24 \\ x — y = 2 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x = 12 \\ x — y = 2 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x = 12 \\ y = 12 — 2 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x = 12 \\ y = 10 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x — y = 4 \\ x + y = 11 \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2x = 15 \\ x — y = 4 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x = 7.5 \\ x — y = 4 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x = 7.5 \\ y = 7.5 — 4 \end{cases}$$

не натуральные.

Ответ: $12$ и $10$.

а)

Уравнение:

$$x^2 — y^2 = 64$$

Разложим на множители:

$$(x — y)(x + y) = 64$$

Шаг 1: Начнем с первых значений для $x — y$ и $x + y$:

$$x > y, \quad x — y < x + y;$$

Шаг 2: Подставляем разные возможные значения для $x — y$ и $x + y$.

• Для $x — y = 1$ и $x + y = 64$:

$$\begin{cases} x — y = 1 \\ x + y = 64 \end{cases}$$

Шаг 3: Из первого уравнения $x — y = 1$ выразим $x$:

$$x = y + 1$$

Подставляем в $x + y = 64$:

$$(y + 1) + y = 64$$

$$2y + 1 = 64$$

$$2y = 63$$

$$y = 31.5$$

Подставляем $y = 31.5$ в $x = y + 1$:

$$x = 31.5 + 1 = 32.5$$

Значения не натуральные, поэтому исключаем.

• Для $x — y = 2$ и $x + y = 32$:

$$\begin{cases} x — y = 2 \\ x + y = 32 \end{cases}$$

Шаг 4: Из первого уравнения $x — y = 2$ выразим $x$:

$$x = y + 2$$

Подставляем в $x + y = 32$:

$$(y + 2) + y = 32$$

$$2y + 2 = 32$$

$$2y = 30$$

$$y = 15$$

Подставляем $y = 15$ в $x = y + 2$:

$$x = 15 + 2 = 17$$

Ответ: $x = 17$ и $y = 15$.

• Для $x — y = 4$ и $x + y = 16$:

$$\begin{cases} x — y = 4 \\ x + y = 16 \end{cases}$$

Шаг 5: Из первого уравнения $x — y = 4$ выразим $x$:

$$x = y + 4$$

Подставляем в $x + y = 16$:

$$(y + 4) + y = 16$$

$$2y + 4 = 16$$

$$2y = 12$$

$$y = 6$$

Подставляем $y = 6$ в $x = y + 4$:

$$x = 6 + 4 = 10$$

Ответ: $x = 10$ и $y = 6$.

Ответ:

$$17 \text{ и } 15 \text{ или } 10 \text{ и } 6$$

б)

Уравнение:

$$x^2 — y^2 = 15$$

Разложим на множители:

$$(x — y)(x + y) = 15$$

Шаг 1: Начнем с первых значений для $x — y$ и $x + y$:

$$x > y, \quad x — y < x + y;$$

Шаг 2: Подставляем разные возможные значения для $x — y$ и $x + y$.

• Для $x — y = 1$ и $x + y = 15$:

$$\begin{cases} x — y = 1 \\ x + y = 15 \end{cases}$$

Шаг 3: Из первого уравнения $x — y = 1$ выразим $x$:

$$x = y + 1$$

Подставляем в $x + y = 15$:

$$(y + 1) + y = 15$$

$$2y + 1 = 15$$

$$2y = 14$$

$$y = 7$$

Подставляем $y = 7$ в $x = y + 1$:

$$x = 7 + 1 = 8$$

Ответ: $x = 8$ и $y = 7$.

• Для $x — y = 3$ и $x + y = 5$:

$$\begin{cases} x — y = 3 \\ x + y = 5 \end{cases}$$

Шаг 4: Из первого уравнения $x — y = 3$ выразим $x$:

$$x = y + 3$$

Подставляем в $x + y = 5$:

$$(y + 3) + y = 5$$

$$2y + 3 = 5$$

$$2y = 2$$

$$y = 1$$

Подставляем $y = 1$ в $x = y + 3$:

$$x = 1 + 3 = 4$$

Ответ: $x = 4$ и $y = 1$.

Ответ:

$$8 \text{ и } 7 \text{ или } 4 \text{ и } 1$$

в)

Уравнение:

$$x^2 — y^2 = 44$$

Разложим на множители:

$$(x — y)(x + y) = 44$$

Шаг 1: Начнем с первых значений для $x — y$ и $x + y$:

$$x > y, \quad x — y < x + y;$$

Шаг 2: Подставляем разные возможные значения для $x — y$ и $x + y$.

• Для $x — y = 1$ и $x + y = 44$:

$$\begin{cases} x — y = 1 \\ x + y = 44 \end{cases}$$

Шаг 3: Из первого уравнения $x — y = 1$ выразим $x$:

$$x = y + 1$$

Подставляем в $x + y = 44$:

$$(y + 1) + y = 44$$

$$2y + 1 = 44$$

$$2y = 43$$

$$y = 21.5$$

Подставляем $y = 21.5$ в $x = y + 1$:

$$x = 21.5 + 1 = 22.5$$

Значения не натуральные, поэтому исключаем.

• Для $x — y = 2$ и $x + y = 22$:

$$\begin{cases} x — y = 2 \\ x + y = 22 \end{cases}$$

Шаг 4: Из первого уравнения $x — y = 2$ выразим $x$:

$$x = y + 2$$

Подставляем в $x + y = 22$:

$$(y + 2) + y = 22$$

$$2y + 2 = 22$$

$$2y = 20$$

$$y = 10$$

Подставляем $y = 10$ в $x = y + 2$:

$$x = 10 + 2 = 12$$

Ответ: $x = 12$ и $y = 10$.

• Для $x — y = 4$ и $x + y = 11$:

$$\begin{cases} x — y = 4 \\ x + y = 11 \end{cases}$$

Шаг 5: Из первого уравнения $x — y = 4$ выразим $x$:

$$x = y + 4$$

Подставляем в $x + y = 11$:

$$(y + 4) + y = 11$$

$$2y + 4 = 11$$

$$2y = 7$$

$$y = 3.5$$

Подставляем $y = 3.5$ в $x = y + 4$:

$$x = 3.5 + 4 = 7.5$$

Значения не натуральные, поэтому исключаем.

Ответ:

$$12 \text{ и } 10$$