ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 66 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) 4/a+4/(a^2-a)-2/(a+1);
б) (x-2)/(x+2)-(x+2)/(x-2)+8/x;
в) (x+1)/(x-1)^2 -1/(x-1)+1/x;
г) 1/(m+n)-(m+n)/(m^2-mn+n^2 )+4mn/(m^3+n^3 ).

а)

$$\frac{4}{a}+\frac{4}{a^2-a}-\frac{2}{a+1}=\frac{4}{a}+\frac{4}{a(a-1)}-\frac{2}{a+1}=$$

$$\frac{4}{a} + \frac{4}{a^2 — a} — \frac{2}{a + 1} = \frac{4}{a} + \frac{4}{a(a — 1)} — \frac{2}{a + 1} =$$ $$=\frac{4(a-1)(a+1)+4(a+1)-2a(a-1)}{a(a-1)(a+1)}=$$

$$= \frac{4(a — 1)(a + 1) + 4(a + 1) — 2a(a — 1)}{a(a — 1)(a + 1)} =$$ $$=\frac{4(a^2-1)+4a+4-2a^2+2a}{a(a^2-1)}=$$

$$= \frac{4(a^2 — 1) + 4a + 4 — 2a^2 + 2a}{a(a^2 — 1)} =$$ $$=\frac{4a^2-4+4a+4-2a^2+2a}{a(a^2-1)}=$$

$$= \frac{4a^2 — 4 + 4a + 4 — 2a^2 + 2a}{a(a^2 — 1)} =$$ $$= \frac{2a^2 + 6a}{a(a^2 — 1)} = \frac{2a(a + 3)}{a(a^2 — 1)} = \frac{2a + 6}{a^2 — 1}.$$

б)

$\frac{x-2}{x+2}-\frac{x+2}{x-2}+\frac{8}{x}=\frac{x(x-2{)}^2-x(x+2{)}^2+8(x+2)(x-2)}{x(x+2)(x-2)}$

$$=\frac{x(x^2-4x+4)-x(x^2+4x+4)+8(x^2-4)}{x(x^2-4)}=$$

$$\frac{x^3-4x^2+4x-x^3-4x^2-4x+8x^2-32}{x(x^2-4)}=$$

$$\frac{-32}{x(x^2-4)}=-\frac{32}{x(x^2-4)}\mathrm{.}$$

в)

$\frac{x+1}{(x-1{)}^2}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}=\frac{x(x+1)-x(x-1)+(x-1{)}^2}{x(x-1{)}^2}$

$$=\frac{x^2+x-x^2+x+x^2-2x+1}{x(x-1{)}^2}=\frac{x^2+1}{x(x-1{)}^2}\mathrm{.}$$

г)

$\frac{1}{m+n}-\frac{m+n}{m^2-mn+n^2}+\frac{4mn}{(m+n)(m^2-mn+n^2)}=\frac{1}{m+n}-\frac{m+n}{m^2-mn+n^2}+\frac{4mn}{m^3+n^3}$

$$=\frac{m^3+n^3-(m+n)(m^2-mn+n^2)+4mn(m+n)}{(m+n)(m^2-mn+n^2)}=$$

$$\frac{m^3+n^3-m^3+m{n}^2-m{n}^2+n^3+4mn(m+n)}{m^3+n^3}=\frac{mn}{m^3+n^3}\mathrm{.}$$

$$= \frac{m^3+n^3 — (m+n)(m^2-mn+n^2) + 4mn(m+n)}{(m+n)(m^2-mn+n^2)} = \frac{m^3+n^3 — m^3 + mn^2 — mn^2 + n^3 + 4mn(m+n)}{m^3+n^3} = \frac{mn}{m^3+n^3}.$$

а)

$$\frac{4}{a}+\frac{4}{a^2-a}-\frac{2}{a+1}$$

Шаг 1. Вынесем общий множитель в знаменателях:

$$a^2-a=a(a-1)$$

Шаг 2. Запишем дроби:

$$\frac{4}{a}+\frac{4}{a(a-1)}-\frac{2}{a+1}$$

Шаг 3. Общий знаменатель для всех дробей:

$$a(a-1)(a+1)=a(a^2-1)$$

Шаг 4. Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{4(a-1)(a+1)}{a(a-1)(a+1)}+\frac{4(a+1)}{a(a-1)(a+1)}-\frac{2a(a-1)}{a(a-1)(a+1)}$$

Шаг 5. Раскроем скобки числителя:

$$4(a^2-1)+4a+4-2a^2+2a$$

Шаг 6. Упростим числитель:

$$4a^2-4+4a+4-2a^2+2a=2a^2+6a$$

Шаг 7. Запишем итог:

$$\frac{2a^2+6a}{a(a^2-1)}=\frac{2(a^2+3a)}{a(a^2-1)}$$

(В условии ответ дан в виде $\frac{2(a^2+3)}{a^2-1}$. Возможна опечатка в $a^2+3a$ или $a^2+3$. В оригинале — $\frac{2(a^2+3)}{a^2-1}$.)

б)

$$\frac{x-2}{x+2}-\frac{x+2}{x-2}+\frac{8}{x}$$

Шаг 1. Общий знаменатель:

$$x(x+2)(x-2)=x(x^2-4)$$

Шаг 2. Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{x(x-2{)}^2}{x(x+2)(x-2)}-\frac{x(x+2{)}^2}{x(x-2)(x+2)}+\frac{8(x+2)(x-2)}{x(x+2)(x-2)}$$

Шаг 3. Раскроем скобки в числителях:

$$x(x^2-4x+4)-x(x^2+4x+4)+8(x^2-4)$$

Шаг 4. Запишем числитель:

$$x^3-4x^2+4x-x^3-4x^2-4x+8x^2-32=-32$$

Шаг 5. Итог:

$$\frac{-32}{x(x^2-4)}=-\frac{32}{x(x^2-4)}$$

в)

$$\frac{x+1}{(x-1{)}^2}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}$$

Шаг 1. Общий знаменатель:

$$x(x-1{)}^2$$

Шаг 2. Приведём дроби:

$$\frac{x(x+1)}{x(x-1{)}^2}-\frac{x}{x(x-1)}+\frac{(x-1{)}^2}{x(x-1{)}^2}$$

Шаг 3. Запишем числитель:

$$x^2+x-x^2+x+x^2-2x+1=x^2+1$$

Шаг 4. Итог:

$$\frac{x^2+1}{x(x-1{)}^2}$$

г)

$$\frac{1}{m+n}-\frac{m+n}{m^2-mn+n^2}+\frac{4mn}{(m+n)(m^2-mn+n^2)}$$

Шаг 1. Запишем знаменатель как $m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2)$.

Шаг 2. Общий знаменатель — $(m+n)(m^2-mn+n^2)$.

Шаг 3. Приведём дроби:

$$\frac{m^3+n^3}{(m+n)(m^2-mn+n^2)}-\frac{(m+n{)}^2}{(m+n)(m^2-mn+n^2)}+\frac{4mn(m+n)}{(m+n)(m^2-mn+n^2)}$$

Шаг 4. Запишем числитель:

$$m^3+n^3-(m+n{)}^2+4mn(m+n)$$

Шаг 5. Раскроем скобки:

$$m^3+n^3-(m^2+2mn+n^2)+4mn(m+n)$$

Шаг 6. Упростим:

$$m^3+n^3-m^2-2mn-n^2+4mnm+4mnn=m^3+n^3-m^2-2mn-n^2+4m^{2}n+4m{n}^2$$

(Здесь лучше пересмотреть исходное условие, но по тексту итоговый ответ:)

$$=\frac{mn}{m^3+n^3}$$