ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 658 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
а) {(1/x+1/y=2
1/x+3/y=7)+
б) {(1/x-3/y=1
3/x-1/y=1)+
в) {(2/x+1/y=5
4/x-4/y=4)+
г) {(1/x+1/y=10
1/2x-1/2y=1)+

а)

$$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2 \\ \frac{1}{x} + \frac{3}{y} = 7 \end{cases}$$

Замена:

$$\frac{1}{x} = a, \quad \frac{1}{y} = b$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} a + b = 2 \\ a + 3b = 7 \end{cases}$$

Решаем систему:

$$\begin{aligned} & a + b = 2 \quad \text{(1)} \\ & a + 3b = 7 \quad \text{(2)} \end{aligned}$$

Из уравнения (1):

$$a = 2 — b$$

Подставляем в уравнение (2):

$$(2 — b) + 3b = 7$$

$$2 + 2b = 7$$

$$2b = 5$$

$$b = 2.5$$

Найдем $a$:

$$a = 2 — b = 2 — 2.5 = -0.5$$

Таким образом:

$$a = -0.5, \quad b = 2.5$$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\frac{1}{x} = a = -0.5, \quad \frac{1}{y} = b = 2.5$$ $$x = \frac{1}{-0.5} = -2, \quad y = \frac{1}{2.5} = 0.4$$

Ответ:

$$x = -2, \quad y = 0.4$$

б)

$$\begin{cases} \frac{1}{x} — \frac{3}{y} = 1 \\ \frac{3}{x} — \frac{1}{y} = 1 \end{cases}$$

Замена:

$$\frac{1}{x} = a, \quad \frac{1}{y} = b$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} a — 3b = 1 \\ 3a — b = 1 \end{cases}$$

Решаем систему:

$$\begin{aligned} & a — 3b = 1 \quad \text{(1)} \\ & 3a — b = 1 \quad \text{(2)} \end{aligned}$$

Умножаем уравнение (1) на 3:

$$3a — 9b = 3 \quad \text{(3)}$$

Вычитаем уравнение (2) из уравнения (3):

$$(3a — 9b) — (3a — b) = 3 — 1$$

$$-8b = 2$$

$$b = -\frac{1}{4}$$

Найдем $a$:

$$a — 3b = 1$$

$$a — 3\left(-\frac{1}{4}\right) = 1$$

$$a + \frac{3}{4} = 1$$

$$a = 1 — \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$$

Таким образом:

$$a = \frac{1}{4}, \quad b = -\frac{1}{4}$$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\frac{1}{x} = a = \frac{1}{4}, \quad \frac{1}{y} = b = -\frac{1}{4}$$

$$x = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4, \quad y = \frac{1}{-\frac{1}{4}} = -4$$

Ответ:

$$x = 4, \quad y = -4$$

в)

$$\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 5 \\ \frac{4}{x} — \frac{4}{y} = 4 \end{cases}$$

Замена:

$$\frac{1}{x} = a, \quad \frac{1}{y} = b$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} 2a + b = 5 \\ 4a — 4b = 4 \end{cases}$$

Упрощаем второе уравнение:

$$4a — 4b = 4 \quad \Rightarrow \quad a — b = 1$$

Система становится:

$$\begin{cases} 2a + b = 5 \\ a — b = 1 \end{cases}$$

Решаем систему:

$$\begin{aligned} & 2a + b = 5 \quad \text{(1)} \\ & a — b = 1 \quad \text{(2)} \end{aligned}$$

Из уравнения (2):

$$a = b + 1$$

Подставляем в уравнение (1):

$$2(b + 1) + b = 5$$

$$2b + 2 + b = 5$$

$$3b + 2 = 5$$

$$3b = 3$$

$$b = 1$$

Найдем $a$:

$$a = b + 1 = 1 + 1 = 2$$

Таким образом:

$$a = 2, \quad b = 1$$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\frac{1}{x} = a = 2, \quad \frac{1}{y} = b = 1$$ $$x = \frac{1}{2}, \quad y = 1$$

Ответ:

$$x = \frac{1}{2}, \quad y = 1$$

г)

$$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 10 \\ \frac{1}{2x} — \frac{1}{2y} = 1 \end{cases}$$

Замена:

$$\frac{1}{x} = a, \quad \frac{1}{y} = b$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} a + b = 10 \\ \frac{a}{2} — \frac{b}{2} = 1 \end{cases}$$

Упрощаем второе уравнение:

$$\frac{a}{2} — \frac{b}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad a — b = 2$$

Система становится:

$$\begin{cases} a + b = 10 \\ a — b = 2 \end{cases}$$

Решаем систему:

$$\begin{aligned} & a + b = 10 \quad \text{(1)} \\ & a — b = 2 \quad \text{(2)} \end{aligned}$$

Складываем уравнения (1) и (2):

$$(a + b) + (a — b) = 10 + 2$$

$$2a = 12$$

$$a = 6$$

Найдем $b$:

$$a + b = 10$$

$$6 + b = 10$$

$$b = 4$$

Таким образом:

$$a = 6, \quad b = 4$$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\frac{1}{x} = a = 6, \quad \frac{1}{y} = b = 4$$ $$x = \frac{1}{6}, \quad y = \frac{1}{4}$$

Ответ:

$$x = \frac{1}{6}, \quad y = \frac{1}{4}$$

а)

$$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2 \\ \frac{1}{x} + \frac{3}{y} = 7 \end{cases}$$

Замена:

$$\frac{1}{x} = a, \quad \frac{1}{y} = b$$

После замены получаем систему:

$$\begin{cases} a + b = 2 \\ a + 3b = 7 \end{cases}$$

Решаем систему. Начнем с первого уравнения:

$$a + b = 2 \quad \text{(1)}$$

Выражаем $a$ через $b$:

$$a = 2 — b$$

Теперь подставляем это выражение для $a$ во второе уравнение системы:

$$(2 — b) + 3b = 7$$

Решаем это уравнение:

$$2 — b + 3b = 7 \quad \Rightarrow \quad 2 + 2b = 7$$

$$2b = 7 — 2 = 5 \quad \Rightarrow \quad b = 2.5$$

Теперь находим $a$:

$$a = 2 — b = 2 — 2.5 = -0.5$$

Таким образом, $a = -0.5$, $b = 2.5$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\frac{1}{x} = a = -0.5, \quad \frac{1}{y} = b = 2.5$$

Решаем для $x$ и $y$:

$$x = \frac{1}{-0.5} = -2, \quad y = \frac{1}{2.5} = 0.4$$

Ответ:

$$x = -2, \quad y = 0.4$$

б)

$$\begin{cases} \frac{1}{x} — \frac{3}{y} = 1 \\ \frac{3}{x} — \frac{1}{y} = 1 \end{cases}$$

Замена:

$$\frac{1}{x} = a, \quad \frac{1}{y} = b$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} a — 3b = 1 \\ 3a — b = 1 \end{cases}$$

Решаем систему. Начнем с первого уравнения:

$$a — 3b = 1 \quad \text{(1)}$$

Умножим его на 3, чтобы привести к общему виду с уравнением (2):

$$3a — 9b = 3 \quad \text{(3)}$$

Теперь вычитаем уравнение (2) из уравнения (3):

$$(3a — 9b) — (3a — b) = 3 — 1$$ $$-8b = 2 \quad \Rightarrow \quad b = -\frac{1}{4}$$

Теперь находим $a$:

$$a — 3b = 1$$ $$a — 3\left(-\frac{1}{4}\right) = 1$$ $$a + \frac{3}{4} = 1 \quad \Rightarrow \quad a = 1 — \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$$

Таким образом, $a = \frac{1}{4}$, $b = -\frac{1}{4}$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\frac{1}{x} = a = \frac{1}{4}, \quad \frac{1}{y} = b = -\frac{1}{4}$$

Решаем для $x$ и $y$:

$$x = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4, \quad y = \frac{1}{-\frac{1}{4}} = -4$$

Ответ:

$$x = 4, \quad y = -4$$

в)

$$\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 5 \\ \frac{4}{x} — \frac{4}{y} = 4 \end{cases}$$

Замена:

$$\frac{1}{x} = a, \quad \frac{1}{y} = b$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} 2a + b = 5 \\ 4a — 4b = 4 \end{cases}$$

Упрощаем второе уравнение:

$$4a — 4b = 4 \quad \Rightarrow \quad a — b = 1$$

Теперь система выглядит так:

$$\begin{cases} 2a + b = 5 \\ a — b = 1 \end{cases}$$

Решаем систему. Из уравнения (2):

$$a = b + 1$$

Подставляем в уравнение (1):

$$2(b + 1) + b = 5$$

$$2b + 2 + b = 5$$

$$3b + 2 = 5 \quad \Rightarrow \quad 3b = 3 \quad \Rightarrow \quad b = 1$$

Теперь находим $a$:

$$a = b + 1 = 1 + 1 = 2$$

Таким образом, $a = 2$, $b = 1$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\frac{1}{x} = a = 2, \quad \frac{1}{y} = b = 1$$

Решаем для $x$ и $y$:

$$x = \frac{1}{2}, \quad y = 1$$

Ответ:

$$x = \frac{1}{2}, \quad y = 1$$

г)

$$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 10 \\ \frac{1}{2x} — \frac{1}{2y} = 1 \end{cases}$$

Замена:

$$\frac{1}{x} = a, \quad \frac{1}{y} = b$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} a + b = 10 \\ \frac{a}{2} — \frac{b}{2} = 1 \end{cases}$$

Упрощаем второе уравнение:

$$\frac{a}{2} — \frac{b}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad a — b = 2$$

Теперь система выглядит так:

$$\begin{cases} a + b = 10 \\ a — b = 2 \end{cases}$$

Решаем систему. Складываем уравнения (1) и (2):

$$(a + b) + (a — b) = 10 + 2$$

$$2a = 12 \quad \Rightarrow \quad a = 6$$

Теперь находим $b$:

$$a + b = 10$$

$$6 + b = 10 \quad \Rightarrow \quad b = 4$$

Таким образом, $a = 6$, $b = 4$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\frac{1}{x} = a = 6, \quad \frac{1}{y} = b = 4$$

Решаем для $x$ и $y$:

$$x = \frac{1}{6}, \quad y = \frac{1}{4}$$

Ответ:

$$x = \frac{1}{6}, \quad y = \frac{1}{4}$$