ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 656 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Пересекаются ли парабола и прямая? Если да, укажите координаты точек пересечения:
а) y=x^2 и x+y=2;
б) y=x^2 и x-y=1;
в) y+x^2=0 и y=-2x-3;
г) y-x^2=0 и y=-x-5.

а)

$$y = x^2 \quad \text{и} \quad x + y = 2$$

$$\begin{cases} y = x^2 \\ x + y = 2 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x + x^2 = 2 \\ y = x^2 \end{cases}$$

$$x^2 + x — 2 = 0$$

$$D = 1 + 4 \cdot 2 = 9$$

$$x_1 x_2 = -2, \quad x_1 + x_2 = -1$$

$$x_1 = -2, \quad x_2 = 1$$

$$y_1 = (-2)^2 = 4, \quad y_2 = 1^2 = 1$$

Ответ: $(-2; 4)$; $(1; 1)$.

б)

$$y = x^2 \quad \text{и} \quad x — y = 1$$

$$\begin{cases} y = x^2 \\ x — y = 1 \end{cases}$$

$$\begin{cases} y = x^2 \\ x — x^2 = 1 \end{cases}$$

$$x — x^2 — 1 = 0$$

$$x^2 — x + 1 = 0$$

$$D = 1 — 4 = -3 < 0 \quad \text{— решений нет.}$$

Ответ: прямая и парабола не пересекаются.

в)

$$y + x^2 = 0 \quad \text{и} \quad y = -2x — 3$$

$$\begin{cases} y + x^2 = 0 \\ y = -2x — 3 \end{cases}$$

$$\begin{cases} (-2x — 3) + x^2 = 0 \\ y = -2x — 3 \end{cases}$$

$$-2x — 3 + x^2 = 0$$

$$x^2 — 2x — 3 = 0$$

$$D = 1 + 3 = 4$$

$$x_1 x_2 = -3, \quad x_1 + x_2 = 2$$

$$x_1 = 3, \quad x_2 = -1$$ $$y_1 = -2 \cdot 3 — 3 = -9, \quad y_2 = -2 \cdot (-1) — 3 = -1$$

Ответ: $(3; -9)$; $(-1; -1)$.

г)

$$y — x^2 = 0 \quad \text{и} \quad y = -x — 5$$

$$\begin{cases} y — x^2 = 0 \\ y = -x — 5 \end{cases}$$

$$\begin{cases} -x — 5 — x^2 = 0 \\ y = -x — 5 \end{cases}$$

$$x^2 + x + 5 = 0$$

$$D = 1 — 4 \cdot 5 = -19 < 0 \quad \text{— решений нет.}$$

Ответ: прямая и парабола не пересекаются.

а) Система уравнений:

$$y = x^2 \quad \text{и} \quad x + y = 2$$

Шаг 1: Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$$y = 2 — x$$

Шаг 2: Подставим полученное выражение $y = 2 — x$ во первое уравнение:

$$2 — x = x^2$$

Шаг 3: Переносим все члены на одну сторону:

$$x^2 + x — 2 = 0$$

Шаг 4: Находим дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Шаг 5: Находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

Шаг 6: Подставим найденные значения $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$ в выражение для $y$:

• Для $x_1 = -2$:

  $$y_1 = (-2)^2 = 4$$

• Для $x_2 = 1$:

  $$y_2 = 1^2 = 1$$

Ответ: $(-2; 4)$; $(1; 1)$.

б) Система уравнений:

$$y = x^2 \quad \text{и} \quad x — y = 1$$

Шаг 1: Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$$y = x — 1$$

Шаг 2: Подставим полученное выражение $y = x — 1$ в первое уравнение:

$$x — 1 = x^2$$

Шаг 3: Переносим все члены на одну сторону:

$$x^2 — x + 1 = 0$$

Шаг 4: Находим дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 — 4 = -3$$

Шаг 5: Так как дискриминант отрицателен, то решений нет.

Ответ: прямая и парабола не пересекаются.

в) Система уравнений:

$$y + x^2 = 0 \quad \text{и} \quad y = -2x — 3$$

Шаг 1: Подставим значение $y = -2x — 3$ из второго уравнения в первое:

$$(-2x — 3) + x^2 = 0$$

Шаг 2: Упростим:

$$x^2 — 2x — 3 = 0$$

Шаг 3: Находим дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

Шаг 4: Находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$

Шаг 5: Подставим найденные значения $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$ в выражение для $y$:

• Для $x_1 = -1$:

  $$y_1 = -2 \cdot (-1) — 3 = 2 — 3 = -1$$

• Для $x_2 = 3$:

  $$y_2 = -2 \cdot 3 — 3 = -6 — 3 = -9$$

Ответ: $(3; -9)$; $(-1; -1)$.

г) Система уравнений:

$$y — x^2 = 0 \quad \text{и} \quad y = -x — 5$$

Шаг 1: Подставим значение $y = -x — 5$ из второго уравнения в первое:

$$(-x — 5) — x^2 = 0$$

Шаг 2: Упростим:

$$-x — 5 — x^2 = 0$$

Шаг 3: Переносим все члены на одну сторону:

$$x^2 + x + 5 = 0$$

Шаг 4: Находим дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 1 — 20 = -19$$

Шаг 5: Так как дискриминант отрицателен, то решений нет.

Ответ: прямая и парабола не пересекаются.