ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 655 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
а) {(x+y=12
xy=32)+
б) {(x-y=4
xy=12)+
в) {(y=x+2
4y+x^2=8)+
г) {(y^2+2x-4y=0
2y-x=2)+
д) {(2x-y^2=5
x+y^2=16)+
е) {(x^2-3y=-5
x^2-y=1)+

а)

$$\begin{cases} x + y = 12 \\ xy = 32 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x = 12 — y \\ y(12 — y) = 32 \end{cases}$$

$$12y — y^2 — 32 = 0$$

$$y^2 — 12y + 32 = 0$$

$$D = 36 — 32 = 4 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{D} = 2$$

$$y_1 = 6 — 2 = 4; \quad y_2 = 6 + 2 = 8$$

$$x_1 = 12 — 4 = 8; \quad x_2 = 12 — 8 = 4$$

Ответ: $(8; 4)$; $(4; 8)$.

б)

$$\begin{cases} x — y = 4 \\ xy = 12 \end{cases}$$

$$\begin{cases} y = x — 4 \\ x(x — 4) = 12 \end{cases}$$

$$x^2 — 4x = 12$$

$$x^2 — 4x — 12 = 0$$

$$D = 4 + 12 = 16$$

$$x_1 = 6, \quad x_2 = -2$$

$$y_1 = 6 — 4 = 2; \quad y_2 = -2 — 4 = -6$$

Ответ: $(6; 2)$; $(-2; -6)$.

в)

$$\begin{cases} y = x + 2 \\ 4y + x^2 = 8 \end{cases}$$

$$\begin{cases} y = x + 2 \\ 4(x + 2) + x^2 = 8 \end{cases}$$

$$4x + 8 + x^2 — 8 = 0$$

$$x^2 + 4x = 0$$

$$x(x + 4) = 0$$

$$x_1 = 0, \quad x_2 = -4$$

$$y_1 = 0 + 2 = 2; \quad y_2 = -4 + 2 = -2$$

Ответ: $(0; 2)$; $(-4; -2)$.

д)

$$\begin{cases} 2x — y^2 = 5 \\ x + y^2 = 16 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x = 16 — y^2 \\ 2(16 — y^2) — y^2 = 5 \end{cases}$$

$$32 — 2y^2 — y^2 = 5$$

$$-3y^2 = -27$$

$$y^2 = 9$$

$$y = \pm 3$$

$$x_1 = 16 — (-3)^2 = 16 — 9 = 7; \quad x_2 = 16 — 3^2 = 7$$

Ответ: $(7; -3)$; $(7; 3)$.

е)

$$\begin{cases} x^2 — 3y = -5 \\ x^2 — y = 1 \end{cases}$$

$$\begin{cases} y = x^2 — 1 \\ x^2 — 3(x^2 — 1) = -5 \end{cases}$$

$$x^2 — 3x^2 + 3 + 5 = 0$$

$$-2x^2 = -8$$

$$x^2 = 4$$

$$x = \pm 2$$

$$y_1 = (-2)^2 — 1 = 4 — 1 = 3; \quad y_2 = 2^2 — 1 = 3$$

Ответ: $(-2; 3)$; $(2; 3)$.

а) Система уравнений:

$$\begin{cases} x + y = 12 \\ xy = 32 \end{cases}$$

Шаг 1: Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$$x = 12 — y$$

Шаг 2: Подставим выражение для $x$ во второе уравнение:

$$(12 — y)y = 32$$

Шаг 3: Раскроем скобки:

$$12y — y^2 = 32$$

Шаг 4: Переносим все члены на одну сторону:

$$y^2 — 12y + 32 = 0$$

Шаг 5: Находим дискриминант:

$$D = (-12)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 — 128 = 16$$

Шаг 6: Находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-(-12) — \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{12 — 4}{2} = 4, \quad y_2 = \frac{-(-12) + \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 4}{2} = 8$$

Шаг 7: Подставим значения $y_1 = 4$ и $y_2 = 8$ в выражение для $x$:

• Для $y_1 = 4$:

  $$x_1 = 12 — 4 = 8$$

• Для $y_2 = 8$:

  $$x_2 = 12 — 8 = 4$$

Ответ: $(8; 4)$; $(4; 8)$.

б) Система уравнений:

$$\begin{cases} x — y = 4 \\ xy = 12 \end{cases}$$

Шаг 1: Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$$y = x — 4$$

Шаг 2: Подставим выражение для $y$ во второе уравнение:

$$x(x — 4) = 12$$

Шаг 3: Раскроем скобки:

$$x^2 — 4x = 12$$

Шаг 4: Переносим все члены на одну сторону:

$$x^2 — 4x — 12 = 0$$

Шаг 5: Находим дискриминант:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$$

Шаг 6: Находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{4 — 8}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 8}{2} = 6$$

Шаг 7: Подставим значения $x_1 = -2$ и $x_2 = 6$ в выражение для $y$:

• Для $x_1 = -2$:

  $$y_1 = -2 — 4 = -6$$

• Для $x_2 = 6$:

  $$y_2 = 6 — 4 = 2$$

Ответ: $(6; 2)$; $(-2; -6)$.

в) Система уравнений:

$$\begin{cases} y = x + 2 \\ 4y + x^2 = 8 \end{cases}$$

Шаг 1: Подставим значение $y = x + 2$ из первого уравнения во второе:

$$4(x + 2) + x^2 = 8$$

Шаг 2: Раскроем скобки:

$$4x + 8 + x^2 = 8$$

Шаг 3: Упростим:

$$x^2 + 4x + 8 = 8$$

Шаг 4: Переносим 8 на левую сторону:

$$x^2 + 4x = 0$$

Шаг 5: Вынесем общий множитель $x$:

$$x(x + 4) = 0$$

Шаг 6: Находим корни уравнения:

$$x_1 = 0, \quad x_2 = -4$$

Шаг 7: Подставим значения $x_1 = 0$ и $x_2 = -4$ в выражение для $y$:

• Для $x_1 = 0$:

  $$y_1 = 0 + 2 = 2$$

• Для $x_2 = -4$:

  $$y_2 = -4 + 2 = -2$$

Ответ: $(0; 2)$; $(-4; -2)$.

д) Система уравнений:

$$\begin{cases} 2x — y^2 = 5 \\ x + y^2 = 16 \end{cases}$$

Шаг 1: Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$$x = 16 — y^2$$

Шаг 2: Подставим это выражение в первое уравнение:

$$2(16 — y^2) — y^2 = 5$$

Шаг 3: Раскроем скобки:

$$32 — 2y^2 — y^2 = 5$$

Шаг 4: Упростим:

$$32 — 3y^2 = 5$$

Шаг 5: Переносим 5 на левую сторону:

$$-3y^2 = -27$$

Шаг 6: Разделим обе части уравнения на -3:

$$y^2 = 9$$

Шаг 7: Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$y = \pm 3$$

Шаг 8: Подставим найденные значения $y_1 = 3$ и $y_2 = -3$ в выражение для $x$:

• Для $y_1 = 3$:

  $$x_1 = 16 — 3^2 = 16 — 9 = 7$$

• Для $y_2 = -3$:

  $$x_2 = 16 — (-3)^2 = 16 — 9 = 7$$

Ответ: $(7; -3)$; $(7; 3)$.

е) Система уравнений:

$$\begin{cases} x^2 — 3y = -5 \\ x^2 — y = 1 \end{cases}$$

Шаг 1: Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$$y = x^2 — 1$$

Шаг 2: Подставим это выражение в первое уравнение:

$$x^2 — 3(x^2 — 1) = -5$$

Шаг 3: Раскроем скобки:

$$x^2 — 3x^2 + 3 = -5$$

Шаг 4: Упростим:

$$-2x^2 + 3 = -5$$

Шаг 5: Переносим 3 на правую сторону:

$$-2x^2 = -8$$

Шаг 6: Разделим обе части уравнения на -2:

$$x^2 = 4$$

Шаг 7: Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$x = \pm 2$$

Шаг 8: Подставим найденные значения $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$ в выражение для $y$:

• Для $x_1 = 2$:

  $$y_1 = 2^2 — 1 = 4 — 1 = 3$$

• Для $x_2 = -2$:

  $$y_2 = (-2)^2 — 1 = 4 — 1 = 3$$

Ответ: $(-2; 3)$; $(2; 3)$.$(2; 3)$