ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 65 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) a/(ax-x^2 )-a/(ax+x^2 );
б) (a-b)/(a^2+ab)-(a+b)/(a^2-ab);
в) (m+n)/(m^2 n-mn^2 )-(m-n)/(m^2 n+mn^2 );
г) (x+y)/(xy-y^2 )-4x/(x^2-y^2 ).

а)

$\frac{a}{ax-x^2}-\frac{a}{ax+x^2}=\frac{a}{x(a-x)}-\frac{a}{x(a+x)}=\frac{a(a+x)-a(a-x)}{x(a-x)(a+x)}=$

$\frac{a^2+ax-a^2+ax}{x(a^2-x^2)}=\frac{2ax}{x(a^2-x^2)}=\frac{2a}{a^2-x^2}$

б)

$\frac{a-b}{a^2+ab}-\frac{a+b}{a^2-ab}=\frac{a-b}{a(a+b)}-\frac{a+b}{a(a-b)}=\frac{(a-b{)}^2-(a+b{)}^2}{a(a+b)(a-b)}=$

$\frac{a^2-2ab+b^2-(a^2+2ab+b^2)}{a(a^2-b^2)}=\frac{-4ab}{a(a^2-b^2)}=\frac{4b}{b^2-a^2}$

в)

$\frac{m+n}{m^{2}n-m{n}^2}-\frac{m-n}{m{n}^2+m{n}^2}=\frac{m+n}{mn(m-n)}-\frac{m-n}{mn(m+n)}=\frac{(m+n{)}^2-(m-n{)}^2}{mn(m-n)(m+n)}=$

$\frac{m^2+2mn+n^2-(m^2-2mn+n^2)}{mn(m^2-n^2)}=\frac{4mn}{mn(m^2-n^2)}=\frac{4}{m^2-n^2}$

г)

$\frac{x+y}{xy-y^2}-\frac{4x}{x^2-y^2}=\frac{x+y}{y(x-y)}-\frac{4x}{(x-y)(x+y)}=\frac{(x+y{)}^2-4xy}{y(x-y)(x+y)}=\frac{x^2+2xy+y^2-4xy}{y(x-y)(x+y)}=$

$\frac{x^2-2xy+y^2}{y(x-y)(x+y)}=\frac{(x-y{)}^2}{y(x-y)(x+y)}=\frac{x-y}{y(x+y)}$

$\frac{x+y}{xy — y^2} — \frac{4x}{x^2 — y^2} = \frac{x+y}{y(x — y)} — \frac{4x}{(x — y)(x + y)} = \frac{(x + y)^2 — 4xy}{y(x — y)(x + y)} = \frac{x^2 + 2xy + y^2 — 4xy}{y(x — y)(x + y)} = \frac{x^2 — 2xy + y^2}{y(x — y)(x + y)} = \frac{(x — y)^2}{y(x — y)(x + y)} = \frac{x — y}{y(x + y)}$

а)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{a}{ax — x^2} — \frac{a}{ax + x^2}.$$

Представим оба дроби с общим знаменателем. Для этого в числителе вынесем $a$ и перепишем выражения в виде:

$$\frac{a}{x(a — x)} — \frac{a}{x(a + x)}.$$

Приводим дроби к общему знаменателю $x(a — x)(a + x)$:

$$\frac{a}{x(a — x)} = \frac{a(a + x)}{x(a — x)(a + x)}, \quad \frac{a}{x(a + x)} = \frac{a(a — x)}{x(a — x)(a + x)}.$$

Теперь вычитаем дроби:

$$\frac{a(a + x) — a(a — x)}{x(a — x)(a + x)}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$a(a + x) = a^2 + ax, \quad a(a — x) = a^2 — ax.$$

Подставляем в числитель:

$$\frac{a^2 + ax — a^2 + ax}{x(a^2 — x^2)}.$$

Упрощаем числитель:

$$\frac{2ax}{x(a^2 — x^2)}.$$

Сократим на $x$:

$$\frac{2a}{a^2 — x^2}.$$

Ответ:

$$\frac{2a}{a^2 — x^2}.$$

б)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{a — b}{a^2 + ab} — \frac{a + b}{a^2 — ab}.$$

Приведем дроби к общему знаменателю. Для этого в числителе заменим $a^2 + ab$ и $a^2 — ab$ на $a(a + b)$ и $a(a — b)$:

$$\frac{a — b}{a(a + b)} — \frac{a + b}{a(a — b)}.$$

Приводим дроби к общему знаменателю $a(a + b)(a — b)$:

$$\frac{a — b}{a(a + b)} = \frac{(a — b)^2}{a(a + b)(a — b)}, \quad \frac{a + b}{a(a — b)} = \frac{(a + b)^2}{a(a + b)(a — b)}.$$

Теперь вычитаем дроби:

$$\frac{(a — b)^2 — (a + b)^2}{a(a + b)(a — b)}.$$

Раскроем квадраты в числителе:

$$(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2, \quad (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.$$

Подставляем в числитель:

$$\frac{a^2 — 2ab + b^2 — a^2 — 2ab — b^2}{a(a + b)(a — b)}.$$

Упрощаем числитель:

$$\frac{-4ab}{a(a + b)(a — b)}.$$

Сократим на $a$:

$$\frac{-4b}{(a + b)(a — b)}.$$

Используем разложение разности квадратов:

$$\frac{-4b}{b^2 — a^2}.$$

Ответ:

$$\frac{4b}{b^2 — a^2}.$$

в)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{m + n}{m^2n — mn^2} — \frac{m — n}{m^2n + mn^2}.$$

Приведем дроби с разными знаменателями к общему $mn(m — n)(m + n)$:

$$\frac{m + n}{mn(m — n)} — \frac{m — n}{mn(m + n)}.$$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$$\frac{(m + n)^2 — (m — n)^2}{mn(m — n)(m + n)}.$$

Раскроем квадраты в числителе:

$$(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2, \quad (m — n)^2 = m^2 — 2mn + n^2.$$

Подставляем в числитель:

$$\frac{m^2 + 2mn + n^2 — m^2 + 2mn — n^2}{mn(m^2 — n^2)}.$$

Упрощаем числитель:

$$\frac{4mn}{mn(m^2 — n^2)}.$$

Сократим на $mn$:

$$\frac{4}{m^2 — n^2}.$$

Ответ:

$$\frac{4}{m^2 — n^2}.$$

г)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{x + y}{xy — y^2} — \frac{4x}{x^2 — y^2}.$$

Вынесем общий множитель из знаменателей. В первом знаменателе $xy — y^2$ можно вынести $y$, во втором $x^2 — y^2$ — разность квадратов:

$$\frac{x + y}{y(x — y)} — \frac{4x}{(x — y)(x + y)}.$$

Приводим дроби к общему знаменателю $y(x — y)(x + y)$:

$$\frac{x + y}{y(x — y)} = \frac{(x + y)^2}{y(x — y)(x + y)}, \quad \frac{4x}{(x — y)(x + y)} = \frac{4x}{y(x — y)(x + y)}.$$

Теперь вычитаем дроби:

$$\frac{(x + y)^2 — 4x(x — y)}{y(x — y)(x + y)}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2, \quad 4x(x — y) = 4x^2 — 4xy.$$

Подставляем в числитель:

$$\frac{x^2 + 2xy + y^2 — 4x^2 + 4xy}{y(x — y)(x + y)}.$$

Упрощаем числитель:

$$\frac{-3x^2 + 6xy + y^2}{y(x — y)(x + y)}.$$

Выносим общий множитель 3:

$$\frac{3(-x^2 + 2xy + y^2)}{y(x — y)(x + y)} = \frac{3(x — y)^2}{y(x — y)(x + y)}.$$

Сокращаем на $x — y$:

$$\frac{3(x — y)}{y(x + y)}.$$

Ответ:

$$\frac{3(x-y)}{y(x+y)}\mathrm{.}$$

$$\frac{(x — y)^2}{y (x — y)(x + y)} = \frac{x — y}{y (x + y)}$$