ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 648 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1) Убедитесь в том, что графической моделью каждой из данных систем являются совпадающие прямые:
а) {(2x+8y=10
5x+20y=25)+
б) {(4x-12y=40
5x-15y=50)+
Сравните в каждой системе отношения коэффициентов при x, коэффициентов при y и свободных членов. Сформулируйте признак, по которому можно определить, что система имеет бесконечно много решений.
2) Убедитесь в том, что графической моделью каждой из данных систем являются параллельные прямые:
а) {(3x+6y=-3
4x+8y=2)+
б) {(6x+2y=1
9x+3y=9)+
Сравните в каждой системе отношения коэффициентов при x, коэффициентов при y и свободных членов. Сформулируйте признак, по которому можно определить, что система не имеет решений.
3) Дано уравнение 5x+y=8. Составьте еще одно уравнение так, чтобы вместе с данным оно образовало систему:
а) имеющую бесконечно много решений;
б) не имеющую решений.
4) Существует ли такое значение a, при котором система уравнений
{(ax+3y=6
2x+y=18)+
имеет бесконечно много решений? не имеет решений? Если существует, то укажите его.

а)

$$\begin{cases} 2x + 8y = 10 \\ 5x + 20y = 25 \end{cases} \quad |:2 \quad \begin{cases} x + 4y = 5 \\ x + 4y = 5 \end{cases} \quad \text{или} \quad \frac{2}{5} = \frac{8}{20} = \frac{10}{25}.$$

б)

$$\begin{cases} 4x — 12y = 40 \\ 5x — 15y = 50 \end{cases} \quad |:4 \quad \begin{cases} x — 3y = 10 \\ x — 3y = 10 \end{cases} \quad \text{или} \quad \frac{4}{5} = \frac{12}{15} = \frac{40}{50}.$$

Признак, по которому можно определить, что система имеет бесконечно много решений:

$$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \quad \text{или} \quad \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}.$$

а)

$$\begin{cases} 3x + 6y = -3 \\ 4x + 8y = 2 \end{cases} \quad |:3 \quad \begin{cases} x + 2y = -1 \\ x + 2y = 0.5 \end{cases} \quad \text{или} \quad \frac{3}{4} = \frac{6}{8} \neq \frac{-3}{2}.$$

б)

$$\begin{cases} 6x + 2y = 1 \\ 9x + 3y = 9 \end{cases} \quad |:2 \quad \begin{cases} 3x + y = 0.5 \\ 3x + y = 3 \end{cases} \quad \text{или} \quad \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \neq \frac{1}{9}.$$

Признак, по которому можно определить, что система не имеет решений:

$$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \quad \text{или} \quad \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}.$$

а) бесконечно много решений:

$$\begin{cases} 5x + y = 8 \\ 2.5x + \frac{1}{2}y = 4 \end{cases} \quad | \cdot 2 \quad \begin{cases} 5x + y = 8 \\ 5x + y = 8 \end{cases} \quad \text{или} \quad \frac{5}{2.5} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = \frac{8}{4}.$$

б) решений нет:

$$\begin{cases} 5x + y = 8 \\ 10x + 2y = 10 \end{cases} \quad |:2 \quad \begin{cases} 5x + y = 8 \\ 5x + y = 5 \end{cases} \quad \text{или} \quad \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \neq \frac{8}{10}.$$

$$\begin{cases} ax + 3y = 6 \\ 2x + y = 18 \end{cases}$$

а)

$$\frac{a}{2} = \frac{3}{1} = \frac{6}{18}, \quad \text{так как} \quad \frac{3}{1} \neq \frac{6}{18} \quad \text{то система не может иметь бесконечно много решений.}$$

Значит,

$$\frac{a}{2} = \frac{3}{1} \neq \frac{6}{18}.$$

Тогда:

$$a = 6 \quad \text{при} \quad a = 6 \quad \text{система не имеет решений.}$$

Ответ: при $a = 6$ система не имеет решений; бесконечно много решений не может быть.

а)Дана система уравнений:

$$\begin{cases} 2x + 8y = 10 \\ 5x + 20y = 25 \end{cases}$$

Шаг 1. Разделим оба уравнения на 2, чтобы упростить систему:

$$\frac{2x + 8y}{2} = \frac{10}{2} \quad \Rightarrow \quad x + 4y = 5$$

$$\frac{5x + 20y}{2} = \frac{25}{2} \quad \Rightarrow \quad x + 4y = 5$$

Теперь система выглядит так:

$$\begin{cases} x + 4y = 5 \\ x + 4y = 5 \end{cases}$$

Шаг 2. Заметим, что оба уравнения идентичны, что означает, что система имеет бесконечно много решений. Мы можем записать их в виде $\frac{2}{5} = \frac{8}{20} = \frac{10}{25}$, что подтверждает, что система не имеет противоречий и решения для всех значений $y$.

б)Дана система уравнений:

$$\begin{cases} 4x — 12y = 40 \\ 5x — 15y = 50 \end{cases}$$

Шаг 1. Разделим оба уравнения на 4:

$$\frac{4x — 12y}{4} = \frac{40}{4} \quad \Rightarrow \quad x — 3y = 10$$ $$\frac{5x — 15y}{4} = \frac{50}{4} \quad \Rightarrow \quad x — 3y = 10$$

Теперь система выглядит так:

$$\begin{cases} x — 3y = 10 \\ x — 3y = 10 \end{cases}$$

Шаг 2. Так как оба уравнения идентичны, это подтверждает, что система имеет бесконечно много решений. Мы можем записать это как $\frac{4}{5} = \frac{12}{15} = \frac{40}{50}$, что подтверждает идентичность уравнений.

Признак, по которому можно определить, что система имеет бесконечно много решений:

$$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \quad \text{или} \quad \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}.$$

а) Дана система уравнений:

$$\begin{cases} 3x + 6y = -3 \\ 4x + 8y = 2 \end{cases}$$

Шаг 1. Разделим первое уравнение на 3:

$$\frac{3x + 6y}{3} = \frac{-3}{3} \quad \Rightarrow \quad x + 2y = -1$$

Разделим второе уравнение на 4:

$$\frac{4x + 8y}{4} = \frac{2}{4} \quad \Rightarrow \quad x + 2y = 0.5$$

Теперь система выглядит так:

$$\begin{cases} x + 2y = -1 \\ x + 2y = 0.5 \end{cases}$$

Шаг 2. Видим, что уравнения противоречат друг другу, так как $x + 2y$ не может одновременно быть равно $-1$ и $0.5$. Следовательно, система не имеет решений.

б) Дана система уравнений:

$$\begin{cases} 6x + 2y = 1 \\ 9x + 3y = 9 \end{cases}$$

Шаг 1. Разделим первое уравнение на 2:

$$\frac{6x + 2y}{2} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad 3x + y = 0.5$$

Разделим второе уравнение на 3:

$$\frac{9x + 3y}{3} = \frac{9}{3} \quad \Rightarrow \quad 3x + y = 3$$

Теперь система выглядит так:

$$\begin{cases} 3x + y = 0.5 \\ 3x + y = 3 \end{cases}$$

Шаг 2. Видим, что уравнения противоречат друг другу, так как $3x + y$ не может одновременно быть равно $0.5$ и $3$. Следовательно, система не имеет решений.

Признак, по которому можно определить, что система не имеет решений:

$$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \quad \text{или} \quad \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}.$$

а) Дана система уравнений:

$$\begin{cases} 5x + y = 8 \\ 2.5x + \frac{1}{2}y = 4 \end{cases}$$

Шаг 1. Умножим второе уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:

$$2 \cdot \left( 2.5x + \frac{1}{2}y \right) = 2 \cdot 4 \quad \Rightarrow \quad 5x + y = 8$$

Теперь система выглядит так:

$$\begin{cases} 5x + y = 8 \\ 5x + y = 8 \end{cases}$$

Шаг 2. Видим, что оба уравнения идентичны, что означает, что система имеет бесконечно много решений. Мы можем записать $\frac{5}{2.5} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = \frac{8}{4}$, что подтверждает, что система не имеет противоречий.

б) Дана система уравнений:

$$\begin{cases} 5x + y = 8 \\ 10x + 2y = 10 \end{cases}$$

Шаг 1. Разделим второе уравнение на 2:

$$\frac{10x + 2y}{2} = \frac{10}{2} \quad \Rightarrow \quad 5x + y = 5$$

Теперь система выглядит так:

$$\begin{cases} 5x + y = 8 \\ 5x + y = 5 \end{cases}$$

Шаг 2. Видим, что уравнения противоречат друг другу, так как $5x + y$ не может одновременно быть равно $8$ и $5$. Следовательно, система не имеет решений.

Дана система уравнений:

$$\begin{cases} ax + 3y = 6 \\ 2x + y = 18 \end{cases}$$

Шаг 1. Разделим первое уравнение на 2:

$$\frac{ax + 3y}{2} = \frac{6}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{a}{2}x + \frac{3}{2}y = 3$$

Это равенство означает, что система не может иметь бесконечно много решений, так как $\frac{3}{1} \neq \frac{6}{18}$.

Шаг 2. Значит:

$$\frac{a}{2} = \frac{3}{1} \neq \frac{6}{18}.$$

Таким образом, система не может иметь бесконечно много решений.

Ответ: при $a = 6$ система не имеет решений.