ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 645 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
а) {(x/2-y/3=2
x/4+y/2=5)+
б) {(u/5+v/2=2
-u/3+v/2=2/3)+
в) {(2p-q/2=14
p/2+q/8=7)+
г) {(3m/2+2n/3=6
3m/4+n/3=12)+

а)

$$\begin{cases} \frac{x}{2} — \frac{y}{3} = 2 \\ \frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 5 \end{cases} \quad \left| \cdot 6 \right.$$

$$\begin{cases} 3x — 2y = 12 \\ x + 2y = 20 \end{cases} \quad +$$

$$\begin{cases} 4x = 32 \\ x + 2y = 20 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x = 8 \\ 2y = 20 — 8 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x = 8 \\ y = 6 \end{cases}$$

Ответ: $x = 8$; $y = 6$.

б)

$$\begin{cases} \frac{u}{5} + \frac{v}{2} = 2 \\ -\frac{u}{3} + \frac{v}{2} = \frac{2}{3} \end{cases} \quad \left| \cdot 10 \right.$$

$$\begin{cases} 2u + 5v = 20 \\ -2u + 3v = 4 \end{cases} \quad +$$

$$\begin{cases} 8v = 24 \\ 2u + 5v = 20 \end{cases}$$

$$\begin{cases} v = 3 \\ 2u = 20 — 5 \cdot 3 \end{cases}$$

$$\begin{cases} v = 3 \\ u = 2,5 \end{cases}$$

Ответ: $u = 2,5$; $v = 3$.

в)

$$\begin{cases} 2p — \frac{q}{2} = 14 \\ \frac{p}{2} + \frac{q}{8} = 7 \end{cases} \quad \left| \cdot 2 \right.$$

$$\begin{cases} 4p — q = 28 \\ 4p + q = 56 \end{cases} \quad +$$

$$\begin{cases} 8p = 84 \\ 4p — q = 28 \end{cases}$$

$$\begin{cases} p = 10,5 \\ q = 4 \cdot 10,5 — 28 \end{cases}$$

$$\begin{cases} p = 10,5 \\ q = 14 \end{cases}$$

Ответ: $p = 10,5$; $q = 14$.

г)

$$\begin{cases} \frac{3m}{2} + \frac{2n}{3} = 6 \\ \frac{3m}{4} + \frac{n}{3} = 12 \end{cases} \quad \left| \cdot 6 \right.$$

$$\begin{cases} 9m + 4n = 36 \\ 9m + 4n = 144 \end{cases}$$

$$9m + 4n = 36 \quad — \quad \text{решений нет.}$$

Ответ: решений нет.

а) Система:

$$\begin{cases} \frac{x}{2} — \frac{y}{3} = 2 \\ \frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 5 \end{cases}$$

Шаг 1: Умножим обе части каждого уравнения на 6 (наименьшее общее кратное знаменателей 2, 3, 4 и 2), чтобы избавиться от дробей.

$$6 \cdot \left( \frac{x}{2} — \frac{y}{3} \right) = 6 \cdot 2 \quad \Rightarrow \quad 3x — 2y = 12$$

$$6 \cdot \left( \frac{x}{4} + \frac{y}{2} \right) = 6 \cdot 5 \quad \Rightarrow \quad x + 2y = 20$$

Теперь получаем систему:

$$\begin{cases} 3x — 2y = 12 \\ x + 2y = 20 \end{cases}$$

Шаг 2: Складываем эти два уравнения, чтобы избавиться от $y$:

$$(3x — 2y) + (x + 2y) = 12 + 20$$

Сокращаем $y$ и получаем:

$$4x = 32$$

Теперь решаем для $x$:

$$x = \frac{32}{4} = 8$$

Шаг 3: Подставляем $x = 8$ в одно из исходных уравнений, например, во второе:

$$x + 2y = 20$$ $$8 + 2y = 20$$

Решаем для $y$:

$$2y = 20 — 8 = 12$$ $$y = \frac{12}{2} = 6$$

Ответ: $x = 8$, $y = 6$.

б) Система:

$$\begin{cases} \frac{u}{5} + \frac{v}{2} = 2 \\ -\frac{u}{3} + \frac{v}{2} = \frac{2}{3} \end{cases}$$

Шаг 1: Умножим каждое уравнение на 10 (наименьшее общее кратное знаменателей 5, 2, 3, 2), чтобы избавиться от дробей:

$$10 \cdot \left( \frac{u}{5} + \frac{v}{2} \right) = 10 \cdot 2 \quad \Rightarrow \quad 2u + 5v = 20$$

$$10 \cdot \left( -\frac{u}{3} + \frac{v}{2} \right) = 10 \cdot \frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad -2u + 5v = 4$$

Теперь получаем систему:

$$\begin{cases} 2u + 5v = 20 \\ -2u + 5v = 4 \end{cases}$$

Шаг 2: Складываем эти два уравнения, чтобы избавиться от $u$:

$$(2u + 5v) + (-2u + 5v) = 20 + 4$$

Сокращаем $u$ и получаем:

$$10v = 24$$

Решаем для $v$:

$$v = \frac{24}{10} = 2,4$$

Шаг 3: Подставляем $v = 2,4$ в одно из уравнений, например, в первое:

$$2u + 5(2,4) = 20$$

$$2u + 12 = 20$$

Решаем для $u$:

$$2u = 20 — 12 = 8$$

$$u = \frac{8}{2} = 4$$

Ответ: $u = 4$, $v = 2,4$.

в) Система:

$$\begin{cases} 2p — \frac{q}{2} = 14 \\ \frac{p}{2} + \frac{q}{8} = 7 \end{cases}$$

Шаг 1: Умножим каждое уравнение на 8 (наименьшее общее кратное знаменателей 2, 2, 8), чтобы избавиться от дробей:

$$8 \cdot \left( 2p — \frac{q}{2} \right) = 8 \cdot 14 \quad \Rightarrow \quad 16p — 4q = 112$$

$$8 \cdot \left( \frac{p}{2} + \frac{q}{8} \right) = 8 \cdot 7 \quad \Rightarrow \quad 4p + q = 56$$

Теперь получаем систему:

$$\begin{cases} 16p — 4q = 112 \\ 4p + q = 56 \end{cases}$$

Шаг 2: Умножим второе уравнение на 4, чтобы упростить вычисления:

$$4 \cdot (4p + q) = 4 \cdot 56 \quad \Rightarrow \quad 16p + 4q = 224$$

Теперь получаем систему:

$$\begin{cases} 16p — 4q = 112 \\ 16p + 4q = 224 \end{cases}$$

Шаг 3: Складываем эти два уравнения, чтобы избавиться от $q$:

$$(16p — 4q) + (16p + 4q) = 112 + 224$$

Сокращаем $q$ и получаем:

$$32p = 336$$

Решаем для $p$:

$$p = \frac{336}{32} = 10,5$$

Шаг 4: Подставляем $p = 10,5$ в одно из исходных уравнений, например, во второе:

$$4(10,5) + q = 56$$ $$42 + q = 56$$

Решаем для $q$:

$$q = 56 — 42 = 14$$

Ответ: $p = 10,5$, $q = 14$.

г) Система:

$$\begin{cases} \frac{3m}{2} + \frac{2n}{3} = 6 \\ \frac{3m}{4} + \frac{n}{3} = 12 \end{cases}$$

Шаг 1: Умножим каждое уравнение на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 2, 3, 4), чтобы избавиться от дробей:

$$12 \cdot \left( \frac{3m}{2} + \frac{2n}{3} \right) = 12 \cdot 6 \quad \Rightarrow \quad 18m + 8n = 72$$

$$12 \cdot \left( \frac{3m}{4} + \frac{n}{3} \right) = 12 \cdot 12 \quad \Rightarrow \quad 9m + 4n = 144$$

Теперь получаем систему:

$$\begin{cases} 18m + 8n = 72 \\ 9m + 4n = 144 \end{cases}$$

Шаг 2: Умножим второе уравнение на 2, чтобы упростить систему:

$$2 \cdot (9m + 4n) = 2 \cdot 144 \quad \Rightarrow \quad 18m + 8n = 288$$

Теперь получаем систему:

$$\begin{cases} 18m + 8n = 72 \\ 18m + 8n = 288 \end{cases}$$

Шаг 3: Вычитаем первое уравнение из второго:

$$(18m + 8n) — (18m + 8n) = 288 — 72$$

Получаем:

$$0 = 216$$

Это противоречие. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: решений нет.