ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 642 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Объясните, почему данная система не имеет решений или имеет бесчисленное множество решений (в этом случае приведите примеры решений системы):
а) {(x+y=3
x+y=1)+
б) {(x-2y=4
x-2y=0)+
в) {(y-x=5
2y-2x=10)+
г) {(3x+y=1
6x+2y=12)+
д) {(x-3y=6
3x-9y=-9)+
е) {(4x+2y=2
x+0,5y=0,5)+

а)

$$\begin{cases} x + y = 3 \\ x + y = 1 \end{cases}$$

Решение:
Оба уравнения имеют одинаковые левые части, но разные правые части. Это означает, что прямые, соответствующие этим уравнениям, параллельны и не пересекаются.

• Графически: Обе прямые имеют наклон $-1$ (коэффициент $y = -x + c$), но разные свободные члены ($c = 3$ и $c = 1$). Они никогда не пересекаются.

Ответ: Система не имеет решений.

б)

$$\begin{cases} x — 2y = 4 \\ x — 2y = 0 \end{cases}$$

Решение:
Оба уравнения имеют одинаковые левые части, но разные правые части. Это означает, что прямые, соответствующие этим уравнениям, параллельны и не пересекаются.

• Графически: Обе прямые имеют наклон $\frac{1}{2}$ (коэффициент $y = \frac{x}{2} + c$), но разные свободные члены ($c = -2$ и $c = 0$). Они никогда не пересекаются.

Ответ: Система не имеет решений.

в)

$$\begin{cases} y — x = 5 \\ 2y — 2x = 10 \end{cases}$$

Решение:
Второе уравнение можно разделить на $2$:

$$2y — 2x = 10 \quad \Rightarrow \quad y — x = 5$$

Теперь система выглядит так:

$$\begin{cases} y — x = 5 \\ y — x = 5 \end{cases}$$

Это одно и то же уравнение, записанное дважды. Значит, обе прямые совпадают, и система имеет бесконечно много решений.

• Графически: Обе прямые совпадают, так как они представляют одну и ту же линию с уравнением $y = x + 5$.

Ответ: Система имеет бесконечно много решений.

г)

$$\begin{cases} 3x + y = 1 \\ 6x + 2y = 12 \end{cases}$$

Решение:
Второе уравнение можно разделить на $2$:

$$6x + 2y = 12 \quad \Rightarrow \quad 3x + y = 6$$

Теперь система выглядит так:

$$\begin{cases} 3x + y = 1 \\ 3x + y = 6 \end{cases}$$

Оба уравнения имеют одинаковые левые части, но разные правые части. Это означает, что прямые, соответствующие этим уравнениям, параллельны и не пересекаются.

• Графически: Обе прямые имеют наклон $-3$ (коэффициент $y = -3x + c$), но разные свободные члены ($c = 1$ и $c = 6$). Они никогда не пересекаются.

Ответ: Система не имеет решений.

д)

$$\begin{cases} x — 3y = 6 \\ 3x — 9y = -9 \end{cases}$$

Решение:
Второе уравнение можно разделить на $3$:

$$3x — 9y = -9 \quad \Rightarrow \quad x — 3y = -3$$

Теперь система выглядит так:

$$\begin{cases} x — 3y = 6 \\ x — 3y = -3 \end{cases}$$

Оба уравнения имеют одинаковые левые части, но разные правые части. Это означает, что прямые, соответствующие этим уравнениям, параллельны и не пересекаются.

• Графически: Обе прямые имеют наклон $\frac{1}{3}$ (коэффициент $y = \frac{x}{3} + c$), но разные свободные члены ($c = -2$ и $c = 1$). Они никогда не пересекаются.

Ответ: Система не имеет решений.

е)

$$\begin{cases} 4x + 2y = 2 \\ x + 0.5y = 0.5 \end{cases}$$

Решение:
Умножаем второе уравнение на $2$:

$$x + 0.5y = 0.5 \quad \Rightarrow \quad 2x + y = 1$$

Теперь система выглядит так:

$$\begin{cases} 4x + 2y = 2 \\ 2x + y = 1 \end{cases}$$

Первое уравнение можно разделить на $2$:

$$4x + 2y = 2 \quad \Rightarrow \quad 2x + y = 1$$

Теперь система выглядит так:

$$\begin{cases} 2x + y = 1 \\ 2x + y = 1 \end{cases}$$

Это одно и то же уравнение, записанное дважды. Значит, обе прямые совпадают, и система имеет бесконечно много решений.

• Графически: Обе прямые совпадают, так как они представляют одну и ту же линию с уравнением $y = -2x + 1$.

Ответ: Система имеет бесконечно много решений.

а)

$$\begin{cases} x + y = 3 \\ x + y = 1 \end{cases}$$

Решение:
Оба уравнения имеют одинаковые левые части, но разные правые части. Это означает, что прямые, соответствующие этим уравнениям, параллельны и не пересекаются.

• Графически: Обе прямые имеют наклон $-1$ (коэффициент $y = -x + c$), но разные свободные члены ($c = 3$ и $c = 1$). Они никогда не пересекаются.

Ответ: Система не имеет решений.

б)

$$\begin{cases} x — 2y = 4 \\ x — 2y = 0 \end{cases}$$

Решение:
Оба уравнения имеют одинаковые левые части, но разные правые части. Это означает, что прямые, соответствующие этим уравнениям, параллельны и не пересекаются.

• Графически: Обе прямые имеют наклон $\frac{1}{2}$ (коэффициент $y = \frac{x}{2} + c$), но разные свободные члены ($c = -2$ и $c = 0$). Они никогда не пересекаются.

Ответ: Система не имеет решений.

в)

$$\begin{cases} y — x = 5 \\ 2y — 2x = 10 \end{cases}$$

Решение:
Второе уравнение можно разделить на $2$:

$$2y — 2x = 10 \quad \Rightarrow \quad y — x = 5$$

Теперь система выглядит так:

$$\begin{cases} y — x = 5 \\ y — x = 5 \end{cases}$$

Это одно и то же уравнение, записанное дважды. Значит, обе прямые совпадают, и система имеет бесконечно много решений.

• Графически: Обе прямые совпадают, так как они представляют одну и ту же линию с уравнением $y = x + 5$.

Ответ: Система имеет бесконечно много решений.

г)

$$\begin{cases} 3x + y = 1 \\ 6x + 2y = 12 \end{cases}$$

Решение:
Второе уравнение можно разделить на $2$:

$$6x + 2y = 12 \quad \Rightarrow \quad 3x + y = 6$$

Теперь система выглядит так:

$$\begin{cases} 3x + y = 1 \\ 3x + y = 6 \end{cases}$$

Оба уравнения имеют одинаковые левые части, но разные правые части. Это означает, что прямые, соответствующие этим уравнениям, параллельны и не пересекаются.

• Графически: Обе прямые имеют наклон $-3$ (коэффициент $y = -3x + c$), но разные свободные члены ($c = 1$ и $c = 6$). Они никогда не пересекаются.

Ответ: Система не имеет решений.

д)

$$\begin{cases} x — 3y = 6 \\ 3x — 9y = -9 \end{cases}$$

Решение:
Второе уравнение можно разделить на $3$:

$$3x — 9y = -9 \quad \Rightarrow \quad x — 3y = -3$$

Теперь система выглядит так:

$$\begin{cases} x — 3y = 6 \\ x — 3y = -3 \end{cases}$$

Оба уравнения имеют одинаковые левые части, но разные правые части. Это означает, что прямые, соответствующие этим уравнениям, параллельны и не пересекаются.

• Графически: Обе прямые имеют наклон $\frac{1}{3}$ (коэффициент $y = \frac{x}{3} + c$), но разные свободные члены ($c = -2$ и $c = 1$). Они никогда не пересекаются.

Ответ: Система не имеет решений.

е)

$$\begin{cases} 4x + 2y = 2 \\ x + 0.5y = 0.5 \end{cases}$$

Решение:
Умножаем второе уравнение на $2$:

$$x + 0.5y = 0.5 \quad \Rightarrow \quad 2x + y = 1$$

Теперь система выглядит так:

$$\begin{cases} 4x + 2y = 2 \\ 2x + y = 1 \end{cases}$$

Первое уравнение можно разделить на $2$:

$$4x + 2y = 2 \quad \Rightarrow \quad 2x + y = 1$$

Теперь система выглядит так:

$$\begin{cases} 2x + y = 1 \\ 2x + y = 1 \end{cases}$$

Это одно и то же уравнение, записанное дважды. Значит, обе прямые совпадают, и система имеет бесконечно много решений.

• Графически: Обе прямые совпадают, так как они представляют одну и ту же линию с уравнением $y = -2x + 1$.

Ответ: Система имеет бесконечно много решений.