ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 637 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений двумя способами, исключив в первом случае одну переменную, а во втором — другую:
а) {(3x-2y=10
9x+4y=40
б) {(a+b=5
3a-5b=-1
в) {(p-4q=2
3p-2q=16

а)

$$\begin{cases} 3x — 2y = 10 \\ 9x + 4y = 40 \end{cases}$$

Первый способ — исключаем переменную $x$, умножив первое уравнение на 3:

$$\begin{cases} 9x — 6y = 30 \\ 9x + 4y = 40 \end{cases}$$

Вычитаем второе уравнение из первого:

$$\begin{cases} -10y = -10 \\ 9x + 4y = 40 \end{cases}$$

Решаем для $y$:

$$y = 1$$

Подставляем $y = 1$ в любое из уравнений, например, в первое:

$$9x = 40 — 4 \cdot 1$$ $$9x = 36$$ $$x = 4$$

Ответ: $(4; 1)$.

Второй способ — исключаем переменную $y$, умножив первое уравнение на 2:

$$\begin{cases} 6x — 4y = 20 \\ 9x + 4y = 40 \end{cases}$$

Складываем оба уравнения:

$$\begin{cases} 15x = 60 \\ 6x — 4y = 20 \end{cases}$$

Решаем для $x$:

$$x = 4$$

Подставляем $x = 4$ в любое из уравнений, например, в первое:

$$4y = 6 \cdot 4 — 20$$ $$4y = 24 — 20$$ $$4y = 4$$ $$y = 1$$

Ответ: $(4; 1)$.

б)

$$\begin{cases} a + b = 5 \\ 3a — 5b = -1 \end{cases}$$

Первый способ — исключаем переменную $a$, умножив первое уравнение на 3:

$$\begin{cases} 3a + 3b = 15 \\ 3a — 5b = -1 \end{cases}$$

Вычитаем второе уравнение из первого:

$$\begin{cases} 8b = 16 \\ 3a — 5b = -1 \end{cases}$$

Решаем для $b$:

$$b = 2$$

Подставляем $b = 2$ в любое из уравнений, например, в первое:

$$3a = 5 \cdot 2 — 1$$ $$3a = 10 — 1$$ $$3a = 9$$ $$a = 3$$

Ответ: $(3; 2)$.

Второй способ — исключаем переменную $b$, умножив первое уравнение на 5:

$$\begin{cases} 5a + 5b = 25 \\ 3a — 5b = -1 \end{cases}$$

Складываем оба уравнения:

$$\begin{cases} 8a = 24 \\ a + b = 5 \end{cases}$$

Решаем для $a$:

$$a = 3$$

Подставляем $a = 3$ в любое из уравнений, например, в первое:

$$b = 5 — 3$$ $$b = 2$$

Ответ: $(3; 2)$.

в)

$$\begin{cases} p — 4q = 2 \\ 3p — 2q = 16 \end{cases}$$

Первый способ — исключаем переменную $p$, умножив первое уравнение на 3:

$$\begin{cases} 3p — 12q = 6 \\ 3p — 2q = 16 \end{cases}$$

Вычитаем второе уравнение из первого:

$$\begin{cases} -10q = -10 \\ p — 4q = 2 \end{cases}$$

Решаем для $q$:

$$q = 1$$

Подставляем $q = 1$ в любое из уравнений, например, в первое:

$$p = 2 + 4 \cdot 1$$ $$p = 6$$

Ответ: $(6; 1)$.

Второй способ — исключаем переменную $q$, умножив второе уравнение на 2:

$$\begin{cases} p — 4q = 2 \\ 6p — 4q = 32 \end{cases}$$

Вычитаем первое уравнение из второго:

$$\begin{cases} -5p = -30 \\ p — 4q = 2 \end{cases}$$

Решаем для $p$:

$$p = 6$$

Подставляем $p = 6$ в любое из уравнений, например, в первое:

$$4q=6-2$$

$$4q = 6 — 2$$ $$4q=4$$

$$4q = 4$$ $$q = 1$$

Ответ: $(6; 1)$.

а) Система уравнений:

$$\begin{cases} 3x — 2y = 10 \\ 9x + 4y = 40 \end{cases}$$

Первый способ — исключаем переменную $x$, умножив первое уравнение на 3:

$$\begin{cases} 9x — 6y = 30 \\ 9x + 4y = 40 \end{cases}$$

Вычитаем второе уравнение из первого:

$$\begin{cases} (9x — 6y) — (9x + 4y) = 30 — 40 \\ -10y = -10 \end{cases}$$

Решаем для $y$:

$$y = \frac{-10}{-10} = 1$$

Теперь подставляем $y = 1$ в любое из уравнений, например, в первое:

$$3x-2\cdot 1=10$$

$$3x — 2 \cdot 1 = 10$$ $$3x-2=10$$

$$3x — 2 = 10$$ $$3x=10+2=12$$

$$3x = 10 + 2 = 12$$ $$x = \frac{12}{3} = 4$$

Ответ: $(4; 1)$.

Второй способ — исключаем переменную $y$, умножив первое уравнение на 2:

$$\begin{cases} 6x — 4y = 20 \\ 9x + 4y = 40 \end{cases}$$

Теперь складываем оба уравнения:

$$(6x-4y)+(9x+4y)=20+40$$

$$(6x — 4y) + (9x + 4y) = 20 + 40$$ $$15x=60$$

$$15x = 60$$ $$x = \frac{60}{15} = 4$$

Подставляем $x = 4$ в любое из уравнений, например, в первое:

$$6\cdot 4-4y=20$$

$$6 \cdot 4 — 4y = 20$$ $$24-4y=20$$

$$24 — 4y = 20$$ $$-4y=20-24=-4$$

$$-4y = 20 — 24 = -4$$ $$y = \frac{-4}{-4} = 1$$

Ответ: $(4; 1)$.

б) Система уравнений:

$$\begin{cases} a + b = 5 \\ 3a — 5b = -1 \end{cases}$$

Первый способ — исключаем переменную $a$, умножив первое уравнение на 3:

$$\begin{cases} 3a + 3b = 15 \\ 3a — 5b = -1 \end{cases}$$

Вычитаем второе уравнение из первого:

$$\begin{cases} (3a + 3b) — (3a — 5b) = 15 — (-1) \\ 8b = 16 \end{cases}$$

Решаем для $b$:

$$b = \frac{16}{8} = 2$$

Теперь подставляем $b = 2$ в любое из уравнений, например, в первое:

$$a+2=5$$

$$a + 2 = 5$$ $$a = 5 — 2 = 3$$

Ответ: $(3; 2)$.

Второй способ — исключаем переменную $b$, умножив первое уравнение на 5:

$$\begin{cases} 5a + 5b = 25 \\ 3a — 5b = -1 \end{cases}$$

Теперь складываем оба уравнения:

$$(5a+5b)+(3a-5b)=25+(-1)$$

$$(5a + 5b) + (3a — 5b) = 25 + (-1)$$ $$8a=24$$

$$8a = 24$$ $$a = \frac{24}{8} = 3$$

Подставляем $a = 3$ в любое из уравнений, например, в первое:

$$3 + b = 5$$ $$b = 5 — 3 = 2$$

Ответ: $(3; 2)$.

в) Система уравнений:

$$\begin{cases} p — 4q = 2 \\ 3p — 2q = 16 \end{cases}$$

Первый способ — исключаем переменную $p$, умножив первое уравнение на 3:

$$\begin{cases} 3p — 12q = 6 \\ 3p — 2q = 16 \end{cases}$$

Вычитаем второе уравнение из первого:

$$\begin{cases} (3p — 12q) — (3p — 2q) = 6 — 16 \\ -10q = -10 \end{cases}$$

Решаем для $q$:

$$q = \frac{-10}{-10} = 1$$

Теперь подставляем $q = 1$ в любое из уравнений, например, в первое:

$$p-4\cdot 1=2$$

$$p — 4 \cdot 1 = 2$$ $$p-4=2$$

$$p — 4 = 2$$ $$p = 2 + 4 = 6$$

Ответ: $(6; 1)$.

Второй способ — исключаем переменную $q$, умножив второе уравнение на 2:

$$\begin{cases} p — 4q = 2 \\ 6p — 4q = 32 \end{cases}$$

Вычитаем первое уравнение из второго:

$$\begin{cases} (6p — 4q) — (p — 4q) = 32 — 2 \\ 5p = 30 \end{cases}$$

Решаем для $p$:

$$p = \frac{30}{5} = 6$$

Теперь подставляем $p = 6$ в любое из уравнений, например, в первое:

$$6-4q=2$$

$$6 — 4q = 2$$ $$-4q=2-6=-4$$

$$-4q = 2 — 6 = -4$$ $$q = \frac{-4}{-4} = 1$$

Ответ: $(6; 1)$.