ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 632 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график уравнения:
а) |x|+|y|=1;
б) |x|-|y|=1.

a) $|x| + |y| = 1$

• Если $x \geq 0$ и $y \geq 0$, то $x + y = 1 \quad \rightarrow \quad y = -x + 1$;
• Если $x \geq 0$ и $y \leq 0$, то $x — y = 1 \quad \rightarrow \quad y = x — 1$;
• Если $x \leq 0$ и $y \geq 0$, то $-x + y = 1 \quad \rightarrow \quad y = x + 1$;
• Если$x \leq 0$ и $y \leq 0$, то$-x — y = 1 \quad \rightarrow \quad y = -x — 1$.

б) $|x| — |y| = 1$

• Если $x \geq 0$ и $y \geq 0$, то $x — y = 1 \quad \rightarrow \quad y = x — 1$;
• Если $x \geq 0$ и $y \leq 0$, то $x + y = 1 \quad \rightarrow \quad y = -x + 1$;
• Если $x \leq 0$ и $y \geq 0$, то $-x — y = 1 \quad \rightarrow \quad y = -x — 1$;
• Если $x \leq 0$ и $y \leq 0$, то $-x + y = 1 \quad \rightarrow \quad y = x + 1$.

a) $|x| + |y| = 1$

Это уравнение описывает геометрическую фигуру, которая является ромбом, расположенным с центром в начале координат. Для определения вида этой фигуры и её составляющих разберем все возможные случаи для значений $x$ и $y$, учитывая, что модули чисел могут влиять на знак каждого из слагаемых.

1. Рассмотрим случай $x \geq 0$ и $y \geq 0$:

В этом случае модули можно опустить, так как оба значения $x$ и $y$ не отрицательны. Уравнение $|x| + |y| = 1$ превращается в:

$$x + y = 1.$$

Решим его относительно $y$:

$$y = 1 — x.$$

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $-1$, которая проходит через точку $(0, 1)$ на оси $y$ и точку $(1, 0)$ на оси $x$.

2. Рассмотрим случай $x \geq 0$ и $y \leq 0$:

Здесь $x$ остаётся положительным, а $y$ отрицательным, поэтому модуль $|y| = -y$. Уравнение $|x| + |y| = 1$ превращается в:

$$x — y = 1.$$

Решим его относительно $y$:

$$y = x — 1.$$

Это уравнение прямой, которая пересекает ось $y$ в точке $(0, -1)$ и ось $x$ в точке $(1, 0)$, но с угловым коэффициентом $1$.

3. Рассмотрим случай $x \leq 0$ и $y \geq 0$:

Здесь $x$ отрицателен, а $y$ положителен, поэтому $|x| = -x$ и $|y| = y$. Уравнение $|x| + |y| = 1$ превращается в:

$$-x + y = 1.$$

Решим его относительно $y$:

$$y = x + 1.$$

Это уравнение прямой, которая пересекает ось $y$ в точке $(0, 1)$ и ось $x$ в точке $(-1, 0)$, с угловым коэффициентом $1$.

4. Рассмотрим случай $x \leq 0$ и $y \leq 0$:

Здесь оба значения $x$ и $y$ отрицательны, поэтому $|x| = -x$ и $|y| = -y$. Уравнение $|x| + |y| = 1$ превращается в:

$$-x — y = 1.$$

Решим его относительно $y$:

$$y = -x — 1.$$

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $1$, которая пересекает ось $y$ в точке $(0, -1)$ и ось $x$ в точке $(-1, 0)$.

График:

График функции $|x| + |y| = 1$ будет ромбом с вершинами в точках $(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-1, 0)$, и $(0, -1)$.

б) $|x| — |y| = 1$

Это уравнение описывает другую геометрическую фигуру, которая будет выглядеть по-другому, поскольку теперь модуль $x$ будет уменьшать модуль $y$, а не увеличивать его.

1. Рассмотрим случай $x \geq 0$ и $y \geq 0$:

В этом случае $|x| = x$ и $|y| = y$, и уравнение превращается в:

$$x — y = 1.$$

Решим его относительно $y$:

$$y = x — 1.$$

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $1$, которая пересекает ось $y$ в точке $(0, -1)$ и ось $x$ в точке $(1, 0)$.

2. Рассмотрим случай $x \geq 0$ и $y \leq 0$:

Здесь $x$ остаётся положительным, а $y$ отрицателен, поэтому $|y| = -y$. Уравнение $|x| — |y| = 1$ превращается в:

$$x + y = 1.$$

Решим его относительно $y$:

$$y = -x + 1.$$

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $-1$, которая пересекает ось $y$ в точке $(0, 1)$ и ось $x$ в точке $(1, 0)$.

3. Рассмотрим случай $x \leq 0$ и $y \geq 0$:

Здесь $x$ отрицателен, а $y$ положителен, поэтому $|x| = -x$ и $|y| = y$. Уравнение $|x| — |y| = 1$ превращается в:

$$-x — y = 1.$$

Решим его относительно $y$:

$$y = -x — 1.$$

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $-1$, которая пересекает ось $y$ в точке $(0, -1)$ и ось $x$ в точке $(-1, 0)$.

4. Рассмотрим случай $x \leq 0$ и $y \leq 0$:

Здесь оба значения $x$ и $y$ отрицательны, поэтому $|x| = -x$ и $|y| = -y$. Уравнение $|x| — |y| = 1$ превращается в:

$$-x + y = 1.$$

Решим его относительно $y$:

$$y = x + 1.$$

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $1$, которая пересекает ось $y$ в точке $(0, 1)$ и ось $x$ в точке $(-1, 0)$.

График:

График функции $|x| — |y| = 1$ будет иметь вид четырёх прямых, пересекающихся в точках, которые образуют углы, и будет симметричен относительно осей.