ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 63 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\frac{1+x}{1-x}+\frac{1-x}{1+x}-\frac{2x^2}{1-x^2}$;

б) $\frac{1}{a+b}-\frac{2b}{a^2-b^2}+\frac{1}{a-b}$;

в) $\frac{y-6}{y^2+3y}-\frac{y-3}{y}+\frac{y}{y+3}$;

г) $\frac{a(4a-b)}{3a-3b}-\frac{a}{3}-\frac{b^2}{a-b}$.

а)$\frac{1+x}{1-x}+\frac{1-x}{1+x}-\frac{2x^2}{1-x^2}=\frac{1+x}{1-x}+\frac{1-x}{1+x}-\frac{2x^2}{(1-x)(1+x)}=\frac{(1+x{)}^2+(1-x{)}^2-2x^2}{1-x^2}=$

$\frac{1+2x+x^2+1-2x+x^2-2x^2}{1-x^2}=\frac{2}{1-x^2}$

б)$\frac{1}{a+b}-\frac{2b}{a^2-b^2}+\frac{1}{a-b}=\frac{1}{a+b}-\frac{2b}{(a-b)(a+b)}+\frac{1}{a-b}=$

$\frac{a-b-2b+a+b}{a^2-b^2}=\frac{2(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{2}{a+b}$

в)$\frac{y-6}{y^2+3y}-\frac{y-3}{y}+\frac{y}{y+3}=\frac{y-6}{y(y+3)}-\frac{y-3}{y}+\frac{y}{y+3}=$

$\frac{y-6-(y-3)(y+3)+y^2}{y(y+3)}=\frac{y-6-y^2+9+y^2}{y(y+3)}=\frac{y+3}{y(y+3)}=\frac{1}{y}$

г)$\frac{a(4a-b)}{3a-3b}-\frac{a}{3}-\frac{b^2}{a-b}=\frac{a(4a-b)}{3(a-b)}-\frac{a}{3}-\frac{b^2}{a-b}=$

$\frac{a(4a-b)-a(a-b)-3b^2}{3(a-b)}=\frac{4a^2-ab-a^2+ab-3b^2}{3(a-b)}=\frac{3a^2-3b^2}{3(a-b)}=\frac{3(a-b)(a+b)}{3(a-b)}=a+b$

а)
Рассмотрим выражение:

$$1+\frac{x}{1-x}+\frac{1-x}{1+x}-2x^2\cdot \frac{1}{1-x^2}\mathrm{.}$$

Начнем с того, что заметим, что $1-x^2=(1-x)(1+x)$, и преобразуем дробь с этим знаменателем:

$$\frac{1}{1-x^2}=\frac{1}{(1-x)(1+x)}\mathrm{.}$$

Подставим это в выражение:

$$1+\frac{x}{1-x}+\frac{1-x}{1+x}-2x^2\cdot \frac{1}{(1-x)(1+x)}\mathrm{.}$$

Теперь нужно привести дроби с разными знаменателями к общему. Общий знаменатель для всех дробей будет $(1-x)(1+x)$. Для этого преобразуем:

$$1=\frac{(1-x)(1+x)}{(1-x)(1+x)}\mathrm{.}$$

Перепишем все дроби с общим знаменателем:

$$\frac{(1-x)(1+x)}{(1-x)(1+x)}+\frac{x(1+x)}{(1-x)(1+x)}+\frac{(1-x{)}^2}{(1-x)(1+x)}-\frac{2x^2}{(1-x)(1+x)}\mathrm{.}$$

Теперь складываем числители:

$$\frac{(1-x)(1+x)+x(1+x)+(1-x{)}^2-2x^2}{(1-x)(1+x)}\mathrm{.}$$

Раскроем все скобки в числителе:

$$(1-x)(1+x)=1-x^2,x(1+x)=x+x^2,(1-x{)}^2=1-2x+x^2\mathrm{.}$$

Теперь получаем:

$$\frac{1-x^2+x+x^2+1-2x+x^2-2x^2}{(1-x)(1+x)}\mathrm{.}$$

Упростим числитель:

$$1+1+x-2x=2-x,-x^2+x^2+x^2-2x^2=0.$$

Теперь выражение примет вид:

$$\frac{2-x}{(1-x)(1+x)}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{2-x}{(1-x)(1+x)}\mathrm{.}$$

б)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{1}{a}+\frac{b}{a^2-b^2}+\frac{1}{a-b}\mathrm{.}$$

Заметим, что $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, и преобразуем дробь с этим знаменателем:

$$\frac{b}{a^2-b^2}=\frac{b}{(a-b)(a+b)}\mathrm{.}$$

Приведем дроби с разными знаменателями к общему $a(a-b)(a+b)$:

$$\frac{1}{a}=\frac{(a-b)(a+b)}{a(a-b)(a+b)},\frac{b}{(a-b)(a+b)}=\frac{b}{(a-b)(a+b)}\mathrm{.}$$

Теперь можем объединить дроби:

$$\frac{(a-b)(a+b)+b}{a(a-b)(a+b)}\mathrm{.}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2\mathrm{.}$$

Таким образом, числитель примет вид:

$$a^2-b^2+b=a^2+b-b^2\mathrm{.}$$

Теперь выражение примет вид:

$$\frac{a^2+b-b^2}{a(a-b)(a+b)}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{a^2+b-b^2}{a(a-b)(a+b)}\mathrm{.}$$

в)
Рассмотрим выражение:

$$y-6y+3y-y-3y+y\cdot y+3.$$

Сложим все слагаемые, содержащие $y$:

$$y-6y+3y-y-3y=-6y+3y+3y=-y\mathrm{.}$$

Теперь у нас осталось:

$$-y+y^2+3.$$

Ответ:

$$y^2-y+3.$$

г)
Рассмотрим выражение:

$$a(4a-b)+3a-3b-a(3-b)+2a-b\mathrm{.}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$a(4a-b)=4a^2-ab,a(3-b)=3a-ab\mathrm{.}$$

Подставим эти выражения:

$$4a^2-ab+3a-3b-3a+ab+2a-b\mathrm{.}$$

Упростим числитель:

$$4a^2-3b-b+2a=4a^2-4b+2a\mathrm{.}$$

Теперь дробь примет вид:

$$\frac{4a^2-4b+2a}{3(a-b)}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{4a^2-4b+2a}{3(a-b)}\mathrm{.}$$

д)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{x}{ax+ay}+\frac{y}{by+bx}\mathrm{.}$$

Приведем дроби к общему знаменателю $ab(x+y)$:

$$\frac{x}{a(x+y)}+\frac{y}{b(x+y)}=\frac{bx}{ab(x+y)}+\frac{ay}{ab(x+y)}\mathrm{.}$$

Теперь складываем дроби:

$$\frac{bx+ay}{ab(x+y)}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{bx+ay}{ab(x+y)}\mathrm{.}$$

е)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{a}{cb-cd}-\frac{c}{ab-ad}\mathrm{.}$$

Приведем дроби к общему знаменателю $ac(b-d)$:

$$\frac{a}{c(b-d)}=\frac{ac}{ac(b-d)},\frac{c}{a(b-d)}=\frac{ca}{ac(b-d)}\mathrm{.}$$

Теперь вычитаем дроби:

$$\frac{a^2-c^2}{ac(b-d)}\mathrm{.}$$

Разложим числитель как разность квадратов:

$$a^2-c^2=(a-c)(a+c)\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{(a-c)(a+c)}{ac(b-d)}\mathrm{.}$$