ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 63 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) (1+x)/(1-x)+(1-x)/(1+x)-(2x^2)/(1-x^2 );
б) 1/(a+b)-2b/(a^2-b^2 )+1/(a-b);
в) (y-6)/(y^2+3y)-(y-3)/y+y/(y+3);
г) a(4a-b)/(3a-3b)-a/3-b^2/(a-b).

а)

$\frac{1+x}{1-x}+\frac{1-x}{1+x}-\frac{2x^2}{1-x^2}=\frac{1+x}{1-x}+\frac{1-x}{1+x}-\frac{2x^2}{(1-x)(1+x)}=\frac{(1+x{)}^2+(1-x{)}^2-2x^2}{1-x^2}=$

$\frac{1+2x+x^2+1-2x+x^2-2x^2}{1-x^2}=\frac{2}{1-x^2}$

б)

$\frac{1}{a+b}-\frac{2b}{a^2-b^2}+\frac{1}{a-b}=\frac{1}{a+b}-\frac{2b}{(a-b)(a+b)}+\frac{1}{a-b}=$

$\frac{a-b-2b+a+b}{a^2-b^2}=\frac{2(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{2}{a+b}$

в)

$\frac{y-6}{y^2+3y}-\frac{y-3}{y}+\frac{y}{y+3}=\frac{y-6}{y(y+3)}-\frac{y-3}{y}+\frac{y}{y+3}=$

$\frac{y-6-(y-3)(y+3)+y^2}{y(y+3)}=\frac{y-6-y^2+9+y^2}{y(y+3)}=\frac{y+3}{y(y+3)}=\frac{1}{y}$

г)

$\frac{a(4a-b)}{3a-3b}-\frac{a}{3}-\frac{b^2}{a-b}=\frac{a(4a-b)}{3(a-b)}-\frac{a}{3}-\frac{b^2}{a-b}=$

$\frac{a(4a-b)-a(a-b)-3b^2}{3(a-b)}=\frac{4a^2-ab-a^2+ab-3b^2}{3(a-b)}=\frac{3a^2-3b^2}{3(a-b)}=\frac{3(a-b)(a+b)}{3(a-b)}=a+b$

$\frac{a(4a-b)}{3a-3b} — \frac{a}{3} — \frac{b^2}{a-b} = \frac{a(4a-b)}{3(a-b)} — \frac{a}{3} — \frac{b^2}{a-b} = \frac{a(4a-b) — a(a-b) — 3b^2}{3(a-b)} = \frac{4a^2 — ab — a^2 + ab — 3b^2}{3(a-b)} = \frac{3a^2 — 3b^2}{3(a-b)} = \frac{3(a-b)(a+b)}{3(a-b)} = a+b$

а)
Рассмотрим выражение:

$$1 + \frac{x}{1 — x} + \frac{1 — x}{1 + x} — 2x^2 \cdot \frac{1}{1 — x^2}.$$

Начнем с того, что заметим, что $1 — x^2 = (1 — x)(1 + x)$, и преобразуем дробь с этим знаменателем:

$$\frac{1}{1 — x^2} = \frac{1}{(1 — x)(1 + x)}.$$

Подставим это в выражение:

$$1 + \frac{x}{1 — x} + \frac{1 — x}{1 + x} — 2x^2 \cdot \frac{1}{(1 — x)(1 + x)}.$$

Теперь нужно привести дроби с разными знаменателями к общему. Общий знаменатель для всех дробей будет $(1 — x)(1 + x)$. Для этого преобразуем:

$$1 = \frac{(1 — x)(1 + x)}{(1 — x)(1 + x)}.$$

Перепишем все дроби с общим знаменателем:

$$\frac{(1 — x)(1 + x)}{(1 — x)(1 + x)} + \frac{x(1 + x)}{(1 — x)(1 + x)} + \frac{(1 — x)^2}{(1 — x)(1 + x)} — \frac{2x^2}{(1 — x)(1 + x)}.$$

Теперь складываем числители:

$$\frac{(1 — x)(1 + x) + x(1 + x) + (1 — x)^2 — 2x^2}{(1 — x)(1 + x)}.$$

Раскроем все скобки в числителе:

$$(1 — x)(1 + x) = 1 — x^2, \quad x(1 + x) = x + x^2, \quad (1 — x)^2 = 1 — 2x + x^2.$$

Теперь получаем:

$$\frac{1 — x^2 + x + x^2 + 1 — 2x + x^2 — 2x^2}{(1 — x)(1 + x)}.$$

Упростим числитель:

$$1 + 1 + x — 2x = 2 — x, \quad -x^2 + x^2 + x^2 — 2x^2 = 0.$$

Теперь выражение примет вид:

$$\frac{2 — x}{(1 — x)(1 + x)}.$$

Ответ:

$$\frac{2 — x}{(1 — x)(1 + x)}.$$

б)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{1}{a} + \frac{b}{a^2 — b^2} + \frac{1}{a — b}.$$

Заметим, что $a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)$, и преобразуем дробь с этим знаменателем:

$$\frac{b}{a^2 — b^2} = \frac{b}{(a — b)(a + b)}.$$

Приведем дроби с разными знаменателями к общему $a(a — b)(a + b)$:

$$\frac{1}{a} = \frac{(a — b)(a + b)}{a(a — b)(a + b)}, \quad \frac{b}{(a — b)(a + b)} = \frac{b}{(a — b)(a + b)}.$$

Теперь можем объединить дроби:

$$\frac{(a — b)(a + b) + b}{a(a — b)(a + b)}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(a — b)(a + b) = a^2 — b^2.$$

Таким образом, числитель примет вид:

$$a^2 — b^2 + b = a^2 + b — b^2.$$

Теперь выражение примет вид:

$$\frac{a^2 + b — b^2}{a(a — b)(a + b)}.$$

Ответ:

$$\frac{a^2 + b — b^2}{a(a — b)(a + b)}.$$

в)
Рассмотрим выражение:

$$y — 6y + 3y — y — 3y + y \cdot y + 3.$$

Сложим все слагаемые, содержащие $y$:

$$y — 6y + 3y — y — 3y = -6y + 3y + 3y = -y.$$

Теперь у нас осталось:

$$-y + y^2 + 3.$$

Ответ:

$$y^2 — y + 3.$$

г)
Рассмотрим выражение:

$$a(4a — b) + 3a — 3b — a(3 — b) + 2a — b.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$a(4a — b) = 4a^2 — ab, \quad a(3 — b) = 3a — ab.$$

Подставим эти выражения:

$$4a^2 — ab + 3a — 3b — 3a + ab + 2a — b.$$

Упростим числитель:

$$4a^2 — 3b — b + 2a = 4a^2 — 4b + 2a.$$

Теперь дробь примет вид:

$$\frac{4a^2 — 4b + 2a}{3(a — b)}.$$

Ответ:

$$\frac{4a^2 — 4b + 2a}{3(a — b)}.$$

д)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{x}{a x + a y} + \frac{y}{b y + b x}.$$

Приведем дроби к общему знаменателю $ab(x + y)$:

$$\frac{x}{a(x + y)} + \frac{y}{b(x + y)} = \frac{b x}{ab(x + y)} + \frac{a y}{ab(x + y)}.$$

Теперь складываем дроби:

$$\frac{b x + a y}{ab(x + y)}.$$

Ответ:

$$\frac{b x + a y}{ab(x + y)}.$$

е)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{a}{c b — c d} — \frac{c}{a b — a d}.$$

Приведем дроби к общему знаменателю $ac(b — d)$:

$$\frac{a}{c(b — d)} = \frac{a c}{ac(b — d)}, \quad \frac{c}{a(b — d)} = \frac{c a}{ac(b — d)}.$$

Теперь вычитаем дроби:

$$\frac{a^2 — c^2}{ac(b — d)}.$$

Разложим числитель как разность квадратов:

$$a^2 — c^2 = (a — c)(a + c).$$

Ответ:

$$\frac{(a — c)(a + c)}{ac(b — d)}.$$$\frac{(a — c)(a + c)}{ac(b — d)}$