ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 614 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Прямые заданы уравнениями y=1/2 x+1, y=1/2 x-4, y=1/2 x.
1) Чему равен угловой коэффициент каждой прямой?
2) Каково взаимное расположение этих прямых на плоскости?
3) В какой точке каждая прямая пересекает ось y?
4) Постройте эти прямые.

$y = \frac{1}{2}x + 1, \quad y = \frac{1}{2}x — 4, \quad y = \frac{1}{2}x$

1. Угловой коэффициент у всех прямых равен $\frac{1}{2}$.
2. Взаимное расположение этих прямых на плоскости — параллельное.
3. $y = \frac{1}{2}x + 1$ пересекает ось $y$ в точке $1$;

   $y = \frac{1}{2}x — 4$ пересекает ось $y$ в точке $-4$;

   $y = \frac{1}{2}x$ пересекает ось $y$ в точке $0$.

4. Графики данных прямых:

$$y = \frac{1}{2}x + 1, \quad y = \frac{1}{2}x — 4, \quad y = \frac{1}{2}x$$

1) Угловой коэффициент у всех прямых равен $\frac{1}{2}$

Шаг 1: Анализ углового коэффициента

Угловой коэффициент $k$ в уравнении прямой $y = kx + l$ определяет наклон прямой и показывает, насколько быстро изменяется $y$ по сравнению с $x$.

• В уравнении $y = \frac{1}{2}x + 1$, угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$.
• В уравнении $y = \frac{1}{2}x — 4$, угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$.
• В уравнении $y = \frac{1}{2}x$, угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$.

Поскольку угловой коэффициент у всех прямых одинаковый ($k = \frac{1}{2}$), все эти прямые будут иметь одинаковый наклон и будут двигаться вверх, так как $k > 0$.

2) Взаимное расположение этих прямых на плоскости — параллельное

Шаг 1: Причина параллельности

Когда у двух прямых одинаковые угловые коэффициенты, но разные свободные члены, они будут параллельны, так как их наклоны одинаковы, а значит, они не пересекаются. Единственное различие между ними заключается в их свободных членах $l$, которые сдвигают прямые вверх или вниз по оси $y$.

В данном случае:

• Прямая $y = \frac{1}{2}x + 1$ будет выше по оси $y$, чем $y = \frac{1}{2}x — 4$, так как свободный член $1 > -4$.
• Прямая $y = \frac{1}{2}x + 1$ будет выше, чем $y = \frac{1}{2}x$, так как $1 > 0$.

3) Пересечения с осью $y$

Шаг 1: Пересечение с осью $y$

Ось $y$ — это линия, где $x = 0$. Чтобы найти точку пересечения прямой с осью $y$, подставим $x = 0$ в каждое уравнение:

• Для $y = \frac{1}{2}x + 1$, подставляем $x = 0$:

$$y = \frac{1}{2} \cdot 0 + 1 = 1$$

Таким образом, прямая $y = \frac{1}{2}x + 1$ пересекает ось $y$ в точке $(0, 1)$.

• Для $y = \frac{1}{2}x — 4$, подставляем $x = 0$:

$$y = \frac{1}{2} \cdot 0 — 4 = -4$$

Таким образом, прямая $y = \frac{1}{2}x — 4$ пересекает ось $y$ в точке $(0, -4)$.

• Для $y = \frac{1}{2}x$, подставляем $x = 0$:

$$y = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$$

Таким образом, прямая $y = \frac{1}{2}x$ пересекает ось $y$ в точке $(0, 0)$.

4) Графики данных прямых

Шаг 1: Описание графиков

• Все прямые имеют угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$, что означает, что они имеют одинаковый наклон, то есть на каждом шаге по оси $x$ на 1 единицу, значение $y$ увеличивается на $\frac{1}{2}$.
• Прямая $y = \frac{1}{2}x + 1$ будет находиться выше всех, так как её пересечение с осью $y$ происходит в точке $(0, 1)$.
• Прямая $y = \frac{1}{2}x — 4$ будет ниже по сравнению с $y = \frac{1}{2}x + 1$, так как её пересечение с осью $y$ происходит в точке $(0, -4)$.
• Прямая $y = \frac{1}{2}x$ будет находиться между этими двумя, так как её пересечение с осью $y$ происходит в точке $(0, 0)$.

Шаг 2: Построение графиков

На графиках эти прямые будут параллельны, с одинаковым наклоном, но различными точками пересечения с осью $y$:

1. Прямая $y = \frac{1}{2}x + 1$ будет проходить через точку $(0, 1)$ и подниматься вверх с углом наклона $\frac{1}{2}$.
2. Прямая $y = \frac{1}{2}x — 4$ будет проходить через точку $(0, -4)$ и также подниматься вверх с углом наклона $\frac{1}{2}$.
3. Прямая $y = \frac{1}{2}x$ будет проходить через точку $(0, 0)$ и подниматься вверх с углом наклона $\frac{1}{2}$.

Все эти прямые будут параллельны, так как имеют одинаковый угловой коэффициент, но сдвинуты по оси $y$ в зависимости от их свободного члена.