ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 605 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Графиком уравнения (x^2+y^2+y)^2=x^2+y^2 является кривая, изображенная на рисунке 4.13. Она называется кардиоидой (так как имеет форму сердца). Найдите координаты точек пересечения кардиоиды с осями координат.

$$(x^2 + y^2 + y)^2 = x^2 + y^2$$

при $x = 0$:

$$(0^2 + y^2 + y)^2 = 0 + y^2$$

$$(y^2 + y)^2 = y^2$$

$$y^4 + 2y^3 + y^2 = y^2$$

$$y^4 + 2y^3 = 0$$

$$y^3(y + 2) = 0$$

$$y^3 = 0, \quad y + 2 = 0$$

$$y = 0, \quad y = -2.$$

Точки: $(0; 0)$, $(0; -2)$.

при $y = 0$:

$$(x^2 + 0^2 + 0)^2 = x^2 + 0$$

$$(x^2)^2 = x^2$$

$$x^4 = x^2$$

$$x^4 — x^2 = 0$$

$$x^2(x^2 — 1) = 0$$

$$x^2 = 0, \quad x^2 = 1$$

$$x = 0, \quad x = \pm 1.$$

Точки: $(0; 0)$, $(-1; 0)$, $(1; 0)$.

Координаты точек пересечения с осями координат:

$$(0; 0), \, (0; -2), \, (-1; 0), \, (1; 0).$$

Дано уравнение:

1) Рассмотрим случай $x = 0$:

Подставляем $x = 0$ в уравнение:

$$(0^2 + y^2 + y)^2 = 0^2 + y^2$$

$$(y^2 + y)^2 = y^2$$

Теперь раскроем скобки:

$$y^4 + 2y^3 + y^2 = y^2$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$y^4 + 2y^3 + y^2 — y^2 = 0$$

$$y^4 + 2y^3 = 0$$

Факторизуем:

$$y^3(y + 2) = 0$$

Теперь решим это уравнение:

$y^3 = 0$ даёт $y = 0$

$y + 2 = 0$ даёт $y = -2$

Таким образом, получаем две точки: $(0; 0)$ и $(0; -2)$.

2) Рассмотрим случай $y = 0$:

Подставляем $y = 0$ в уравнение:

$$(x^2 + 0^2 + 0)^2 = x^2 + 0$$

$$(x^2)^2 = x^2$$

Теперь получаем:

$$x^4 = x^2$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$x^4 — x^2 = 0$$

Факторизуем:

$$x^2(x^2 — 1) = 0$$

Теперь решим это уравнение:

$x^2 = 0$ даёт $x = 0$

$x^2 — 1 = 0$ даёт $x = \pm 1$

Таким образом, получаем три точки: $(0; 0)$, $(-1; 0)$ и $(1; 0)$.

3) Координаты точек пересечения с осями координат:

• При $x = 0$ мы получили точки $(0; 0)$ и $(0; -2)$.
• При $y = 0$ мы получили точки $(0; 0)$, $(-1; 0)$, и $(1; 0)$.

Таким образом, координаты точек пересечения с осями координат следующие:

$$(0; 0), \, (0; -2), \, (-1; 0), \, (1; 0)$$