ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 604 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Линия, изображенная на рисунке 4.12, является эллипсом. Уравнение эллипса можно записать в виде x^2/a+y^2/b=1, где a и b — положительные числа и a?b.
1) Найдите координаты точек пересечения с осями координат эллипса, заданного уравнения x^2/25+y^2/16=1.
2) Определите ординаты точек эллипса x^2/25+y^2/16=1, асциссы которых равны 1.
3) Постройте эллипс, заданный уравнением x^2/25+y^2/16=1.

$$\frac{x^2}{a} + \frac{y^2}{b} = 1, \quad a \text{ и } b \text{ — положительные числа, } a \geq b$$

$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$

при $x = 0$:

$$\frac{0^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$$

$$\frac{y^2}{16} = 1$$

$$y^2 = 16$$

$$y = \pm 4 \quad \Rightarrow \quad (0; -4) \text{ и } (0; 4).$$

при $y = 0$:

$$\frac{x^2}{25} + \frac{0^2}{16} = 1$$

$$\frac{x^2}{25} = 1$$

$$x^2 = 25$$

$$x = \pm 5 \quad \Rightarrow \quad (-5; 0) \text{ и } (5; 0).$$

Координаты точек пересечения с осями координат:

$$(0; -4); \, (0; 4); \, (-5; 0); \, (5; 0).$$

при $x = 1$:

$$\frac{1^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$$

$$\frac{y^2}{16} = 1 — \frac{1}{25}$$

$$\frac{y^2}{16} = \frac{24}{25}$$

$$y^2 = \frac{24 \cdot 16}{25}$$

$$y = \pm \sqrt{\frac{24 \cdot 16}{25}} = \pm \frac{4}{5} \sqrt{24} = \pm \frac{4}{5} \cdot 2\sqrt{6} = \pm \frac{8}{5} \sqrt{6}.$$

Ответ: $\left(1; \frac{8}{5}\sqrt{6}\right)$; $\left(1; -\frac{8}{5}\sqrt{6}\right)$.

1) Уравнение эллипса:

$$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$$

Это уравнение представляет эллипс, где $a = 25$ и $b = 16$. Давайте рассмотрим, как решать это уравнение для различных значений $x$ и $y$, и определим точки пересечения с осями.

Шаг 1: Пересечение с осью $y$ (при $x = 0$):

Подставим $x = 0$ в уравнение эллипса:

$$\frac{0^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$$

$$\frac{y^2}{16} = 1$$

Теперь умножим обе стороны на 16:

$$y^2 = 16$$

Теперь извлекаем корень из обеих сторон:

$$y = \pm 4$$

Таким образом, точки пересечения с осью $y$ — это $(0; -4)$ и $(0; 4)$.

Шаг 2: Пересечение с осью $x$ (при $y = 0$):

Подставим $y = 0$ в уравнение эллипса:

$$\frac{x^2}{25} + \frac{0^2}{16} = 1$$ $$\frac{x^2}{25} = 1$$

Теперь умножим обе стороны на 25:

$$x^2 = 25$$

Теперь извлекаем корень из обеих сторон:

$$x = \pm 5$$

Таким образом, точки пересечения с осью $x$ — это $(-5; 0)$ и $(5; 0)$.

Шаг 3: Координаты точек пересечения с осями:

Мы нашли, что координаты точек пересечения с осями координат следующие:

$$(0; -4); \, (0; 4); \, (-5; 0); \, (5; 0)$$

2) Найдем значения $y$ при $x = 1$:

Подставим $x = 1$ в уравнение эллипса:

$$\frac{1^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$$ $$\frac{1}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$$

Теперь изолируем $\frac{y^2}{16}$:

$$\frac{y^2}{16} = 1 — \frac{1}{25}$$

Для упрощения, приведем правую часть к общему знаменателю:

$$\frac{y^2}{16} = \frac{25}{25} — \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$$

Теперь умножим обе стороны на 16:

$$y^2 = \frac{24 \cdot 16}{25}$$

$$y^2 = \frac{384}{25}$$

Теперь извлекаем корень из обеих сторон:

$$y = \pm \sqrt{\frac{384}{25}} = \pm \frac{\sqrt{384}}{5}$$

Упростим $\sqrt{384}$:

$$\sqrt{384} = \sqrt{16 \cdot 24} = 4\sqrt{24} = 4 \cdot 2 \sqrt{6} = 8\sqrt{6}$$

Таким образом, получаем:

$$y = \pm \frac{8\sqrt{6}}{5}$$

Ответ: $\left(1; \frac{8}{5}\sqrt{6}\right)$; $\left(1; -\frac{8}{5}\sqrt{6}\right)$.

Итог:

Точки пересечения эллипса с осями координат:

$$(0; -4), \, (0; 4), \, (-5; 0), \, (5; 0)$$

При $x = 1$, значения $y$ равны:

$$\left(1; \frac{8}{5}\sqrt{6}\right), \, \left(1; -\frac{8}{5}\sqrt{6}\right)$$