ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 60 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Два восьмиклассника при выполнении самостоятельной работы получили разные ответы на задание: «Представьте выражение a/b+a в виде дроби». Ответ первого 2a/b, а ответ второго (a+ab)/b. Кто из них прав, а кто ошибся и в чем его ошибка?
б) Учитель предложил представить выражение 15a^2/(3a-2)-5a+1 в виде дроби и упростить полученную дробь. Четверо учащихся начали преобразование по-разному, и каждый уверял, что он прав. Разберитесь, в каких случаях преобразования верные, а в каких нет. Доведите верные решения до конца.

$$\text{а) }\frac{a}{b}+a=\frac{a+ab}{b}\text{— верный ответ.}$$

$$\text{а) } \frac{a}{b} + a = \frac{a + ab}{b} \quad \text{— верный ответ.}$$ $$\text{Первый ошибся в том, что не домножил на }b\mathrm{.}$$

$$\text{Первый ошибся в том, что не домножил на } b.$$ $$\text{б) Верные преобразования под 1) и 3):}$$

$$\text{б) Верные преобразования под 1) и 3):}$$ $$1)\frac{15a^2}{3a-2}-5a+1=\frac{15a^2}{3a-2}-\frac{5a}{1}+\frac{1}{1}=\frac{15a^2-5a(3a-2)+3a-2}{3a-2}=$$

$$1) \quad \frac{15a^2}{3a — 2} — 5a + 1 = \frac{15a^2}{3a — 2} — \frac{5a}{1} + \frac{1}{1} = \frac{15a^2 — 5a(3a — 2) + 3a — 2}{3a — 2} =$$ $$=\frac{15a^2-15a^2+10a+3a-2}{3a-2}=\frac{13a-2}{3a-2}\mathrm{.}$$

$$= \frac{15a^2 — 15a^2 + 10a + 3a — 2}{3a — 2} = \frac{13a — 2}{3a — 2}.$$ $$3)\frac{15a^2}{3a-2}-5a+1=\frac{15a^2}{3a-2}-(5a-1)=\frac{15a^2}{3a-2}-\frac{5a-1}{1}=$$

$$3) \quad \frac{15a^2}{3a — 2} — 5a + 1 = \frac{15a^2}{3a — 2} — (5a — 1) = \frac{15a^2}{3a — 2} — \frac{5a — 1}{1} =$$ $$= \frac{15a^2 — (5a — 1)(3a — 2)}{3a — 2} = \frac{15a^2 — 15a^2 + 10a + 3a — 2}{3a — 2} = \frac{13a — 2}{3a — 2}.$$

а)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{a}{b} + a.$$

Чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $b$. Преобразуем дробь $a$:

$$a = \frac{a \cdot b}{b}.$$

Теперь выражение выглядит так:

$$\frac{a}{b} + \frac{a \cdot b}{b} = \frac{a + ab}{b}.$$

Ответ:

$$\frac{a + ab}{b}.$$

б)
1) Преобразования:

Рассмотрим выражение:

$$\frac{15a^2}{3a — 2} — 5a + 1.$$

Преобразуем $-5a + 1$ в дробь с общим знаменателем:

$$-5a + 1 = \frac{-5a}{1} + \frac{1}{1}.$$

Теперь преобразуем дробь так, чтобы иметь общий знаменатель $3a — 2$:

$$\frac{15a^2}{3a — 2} — \frac{5a(3a — 2)}{3a — 2} + \frac{3a — 2}{3a — 2}.$$

Сложим числители:

$$\frac{15a^2 — 5a(3a — 2) + (3a — 2)}{3a — 2}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$15a^2 — 5a(3a — 2) = 15a^2 — 15a^2 + 10a.$$

Числитель получается таким:

$$10a + 3a — 2 = 13a — 2.$$

Таким образом, выражение упрощается до:

$$\frac{13a — 2}{3a — 2}.$$

Ответ:

$$\frac{13a — 2}{3a — 2}.$$

3) Преобразования:

Рассмотрим выражение:

$$\frac{15a^2}{3a — 2} — 5a + 1.$$

Мы можем записать $-5a + 1$ как $\frac{-(5a — 1)}{1}$:

$$\frac{15a^2}{3a — 2} — \frac{5a — 1}{1}.$$

Теперь объединяем дроби с общим знаменателем $3a — 2$:

$$\frac{15a^2 — (5a — 1)(3a — 2)}{3a — 2}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(5a — 1)(3a — 2) = 15a^2 — 10a — 3a + 2 = 15a^2 — 13a + 2.$$

Подставим это в числитель:

$$\frac{15a^2 — (15a^2 — 13a + 2)}{3a — 2} = \frac{15a^2 — 15a^2 + 13a — 2}{3a — 2}.$$

Упростим числитель:

$$\frac{13a — 2}{3a — 2}.$$

Ответ:

$$\frac{13a — 2}{3a — 2}.$$$\frac{15a^2}{3a — 2} — 5a + 1 = \frac{13a — 2}{3a — 2}$