ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 60 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Два восьмиклассника при выполнении самостоятельной работы получили разные ответы на задание: «Представьте выражение $\frac{a}{b}+a$ в виде дроби». Ответ первого: $\frac{2a}{b}$, ответ второго: $\frac{a+ab}{b}$. Кто из них прав, а кто ошибся и в чём его ошибка?

б) Учитель предложил представить выражение $\frac{15a^2}{3a-2}-5a+1$ в виде дроби и упростить полученную дробь. Четверо учащихся начали преобразование по-разному, и каждый уверял, что он прав. Разберитесь, в каких случаях преобразования верные, а в каких нет. Доведите верные решения до конца.

a) $\frac{a}{b} + a = \frac{a + ab}{b}$ — верный ответ.

Первый ошибся в том, что не домножил на $b$.

б) Верные преобразования под 1) и 3):

1)$\frac{15a^2}{3a — 2} — 5a + 1 = \frac{15a^2}{3a — 2} — \frac{5a}{1} + \frac{1}{1} = \frac{15a^2 — 5a(3a — 2) + 3a — 2}{3a — 2} = \frac{13a — 2}{3a — 2}$

2)$\frac{15a^2}{3a — 2} — (5a — 1)(3a — 2) = \frac{15a^2 — 15a^2 + 10a + 3a — 2}{3a — 2} = \frac{13a — 2}{3a — 2}$

а)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{a}{b}+a\mathrm{.}$$

Чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $b$. Преобразуем дробь $a$:

$$a=\frac{a\cdot b}{b}\mathrm{.}$$

Теперь выражение выглядит так:

$$\frac{a}{b}+\frac{a\cdot b}{b}=\frac{a+ab}{b}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{a+ab}{b}\mathrm{.}$$

б)
1) Преобразования:

Рассмотрим выражение:

$$\frac{15a^2}{3a-2}-5a+1.$$

Преобразуем $-5a+1$ в дробь с общим знаменателем:

$$-5a+1=\frac{-5a}{1}+\frac{1}{1}\mathrm{.}$$

Теперь преобразуем дробь так, чтобы иметь общий знаменатель $3a-2$:

$$\frac{15a^2}{3a-2}-\frac{5a(3a-2)}{3a-2}+\frac{3a-2}{3a-2}\mathrm{.}$$

Сложим числители:

$$\frac{15a^2-5a(3a-2)+(3a-2)}{3a-2}\mathrm{.}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$15a^2-5a(3a-2)=15a^2-15a^2+10a\mathrm{.}$$

Числитель получается таким:

$$10a+3a-2=13a-2.$$

Таким образом, выражение упрощается до:

$$\frac{13a-2}{3a-2}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{13a-2}{3a-2}\mathrm{.}$$

3) Преобразования:

Рассмотрим выражение:

$$\frac{15a^2}{3a-2}-5a+1.$$

Мы можем записать $-5a+1$ как $\frac{-(5a-1)}{1}$:

$$\frac{15a^2}{3a-2}-\frac{5a-1}{1}\mathrm{.}$$

Теперь объединяем дроби с общим знаменателем $3a-2$:

$$\frac{15a^2-(5a-1)(3a-2)}{3a-2}\mathrm{.}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(5a-1)(3a-2)=15a^2-10a-3a+2=15a^2-13a+2.$$

Подставим это в числитель:

$$\frac{15a^2-(15a^2-13a+2)}{3a-2}=\frac{15a^2-15a^2+13a-2}{3a-2}\mathrm{.}$$

Упростим числитель:

$$\frac{13a-2}{3a-2}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{13a-2}{3a-2}\mathrm{.}$$