ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 599 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Прямые 5x+2y=10, x=-2, x=-y, попарно пересекаясь, образуют треугольник. Вычислите его площадь.

$$5x + 2y = 10, \quad x = -2, \quad y = -5$$

$$2y = 10 — 5x$$

$$y = 5 — \frac{5}{2}x$$

Получился прямоугольный треугольник $ABC$.

$$AB = 10 + 5 = 15 \text{ ед.}; \quad AC = 2 + 4 = 6 \text{ ед.}$$ $$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 6 = 15 \cdot 3 = 45 \text{ (кв. ед.)}.$$

Ответ: $45$ кв. ед.

Дано:

У нас есть линейное уравнение $5x + 2y = 10$, которое мы будем решать, а затем использовать для нахождения площади прямоугольного треугольника $ABC$, образованного графиками линий.

Шаг 1: Перепишем уравнение $5x + 2y = 10$ в виде выражения для $y$.

Для этого, перенесем все члены, не содержащие $y$, в правую часть уравнения:

$$5x + 2y = 10 \quad \Rightarrow \quad 2y = 10 — 5x$$

Теперь, поделим обе стороны на 2, чтобы получить выражение для $y$:

$$y = \frac{10 — 5x}{2} = 5 — \frac{5}{2}x$$

Таким образом, мы получаем уравнение прямой $y = 5 — \frac{5}{2}x$

Шаг 2: Построение таблицы значений.

Теперь построим таблицу значений для уравнения прямой. Подставим несколько значений для $x$, чтобы найти соответствующие значения для $y$.

• Для $x = 0$:

$$y = 5 — \frac{5}{2} \cdot 0 = 5$$

• Для $x = 2$:

$$y = 5 — \frac{5}{2} \cdot 2 = 5 — 5 = 0$$

Таким образом, получаем таблицу значений:

Шаг 3: График линейного уравнения.

Теперь, основываясь на найденных значениях, мы можем построить график прямой. Это прямая, которая проходит через точки $(0, 5)$ и $(2, 0)$. Графически, эта прямая соединяет эти две точки.

Шаг 4: Получение прямоугольного треугольника $ABC$.

На графике видно, что получился прямоугольный треугольник $ABC$. Его вершины $A$, $B$, и $C$ находятся на пересечении осей и прямой $5x + 2y = 10$.

• Точка $A$ — это точка пересечения прямой с осью $y$, то есть точка $(0, 5)$.
• Точка $B$ — это точка пересечения прямой с осью $x$, то есть точка $(2, 0)$.
• Точка $C$ — это начало координат, точка $(0, 0)$.

Шаг 5: Нахождение длины сторон треугольника.

Для прямоугольного треугольника $ABC$ нам нужно найти длины его катетов:

Длина катета $AB$:

Точка $A$ имеет координаты $(0, 5)$, а точка $B$ — $(2, 0)$. Длина катета $AB$ вычисляется как расстояние между этими точками:

$$AB = |x_B — x_A| + |y_B — y_A| = |2 — 0| + |0 — 5| = 2 + 5 = 7 \, \text{ед.}$$

Длина катета $AC$:

Точка $C$ имеет координаты $(0, 0)$, а точка $A$ — $(0, 5)$. Длина катета $AC$ вычисляется по формуле для расстояния между двумя точками на оси $y$:

$$AC = |y_A — y_C| = |5 — 0| = 5 \, \text{ед.}$$

Шаг 6: Нахождение площади треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

$$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC$$

Подставим найденные значения $AB = 7$ и $AC = 5$:

$$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 = \frac{1}{2} \cdot 35 = 17.5 \, \text{кв. ед.}$$

Ответ:

Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ равна $17.5$ квадратных единиц.