ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 570 Проверьте Себя (Тест) Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1. Решите уравнение $2x^2-13x+21=0$.

2. Соотнесите каждое уравнение с числом его корней.
А) $x^2+3x-10=0$
Б) $x^2-3x+3=0$
В) $4x^2+4x+1=0$
Число корней:

один корень

два корня

нет корней

3. При каких значениях переменной $x$ дробь $\frac{x-2}{x^2+4x-21}$ не имеет смысла?

4. Найдите корни уравнения $5x^2-8=(x-4)(3x-1)+8x$.

5. Дано уравнение $x^2+2x+c=0$, где $c$ — некоторое число, $x$ — переменная. Найдите значение $c$, при котором один из корней уравнения равен $6$.

6. При каком из данных значений $c$ уравнение $x^2-8x+c=0$ не имеет корней?

$5$

$7$

$16$

$20$

7. Сколько корней имеет уравнение $(2x^2-3x+2)(2x^2-x-2)=0$?

8. При каких значениях $a$ и $c$ уравнение $a{x}^2+c=0$ не имеет решения?

$a>0$, $c=0$

$a>0$, $c<0$

$a<0$, $c<0$

$a<0$, $c>0$

9. Решите уравнение $2x^2=\frac{1}{2}$.

10. Решите уравнение $x^2=3x$.

11. Найдите значения $x$, при которых значения выражений $x-x^3$ и $2x-5x^3$ равны.

12. Какое из следующих уравнений является биквадратным уравнением?

$x^4+3x^2+x=0$

$x^4+5x^3-6=0$

$x^4+x^2+1=0$

$x^4+x^3-5=0$

13. Найдите значения $x$, при которых выполняется равенство $x^4=8x^2+9$.

14. Укажите корни уравнения $x^2+(m-n)x-mn=0$.

$x_1=m$, $x_2=n$

$x_1=-m$, $x_2=-n$

$x_1=-m$, $x_2=n$

$x_1=m$, $x_2=-n$

15. Разложите, если возможно, на множители квадратный трёхчлен $2x^2+15x+25$.

это невозможно

$(x+5)(2x+5)$

$(x+5)(x+2,5)$

$2(x+5)(x+0,5)$

16. Прочитайте задачу: «Одно число на $5$ меньше другого. Сумма большего числа и квадрата меньшего равна $17$. Найдите эти числа». Обозначьте меньшее число буквой $x$. Какое уравнение соответствует условию задачи?

$x^2+11x+8=0$

$x^2+x-12=0$

$x^2-9x+8=0$

$x^2+x-22=0$

17. Решите задачу, условие которой сформулировано в предыдущем задании.

18. С вертолёта, летящего на высоте $120$ м, на луг сброшен груз с начальной скоростью $10$ м/с. Через сколько секунд груз приземлится? (Воспользуйтесь формулой $h=vt+5t^2$.)

через $12$ с

через $10$ с

через $6$ с

через $4$ с

№ 1.

$$2x^2-13x+21=0$$

$$$$$$D=169-4\cdot 2\cdot 21=169-168=1.$$

$$$$$$x_1=\frac{13-1}{2\cdot 2}=\frac{12}{4}=3,x_2=\frac{13+1}{4}=\frac{14}{4}=3,5.$$

Ответ: $x=3$; $x=3,5$.

№ 2.
А) $x^2+3x-10=0$

$$D=9+4\cdot 10=49>0\text{ — два корня (2).}$$

Б) $x^2-3x+3=0$

$$D=9-4\cdot 3=9-12=-3<0\text{ — нет корней (3).}$$

В) $4x^2+4x+1=0$

$$D=16-4\cdot 4=0\text{ — один корень (1).}$$

Ответ: А — 2); Б — 3); В — 1).

№ 3.

$$\frac{x-2}{x^2+4x-21}=\frac{x-2}{(x+7)(x-3)};$$

$$$$$$(x+7)(x-3)\mathrm{\ne }0$$

$$$$$$x\mathrm{\ne }-7,x\mathrm{\ne }3.$$

$$$$$$x^2+4x-21=(x+7)(x-3)\mathrm{.}$$

$$$$$$D=4+21=25.$$

$$$$$$x_1{x}_2=-21,x_1+x_2=-4;$$

$$$$$$x_1=-7,x_2=3.$$

Ответ: при $x=-7$ и $x=3$.

№ 4.

$$5x^2-8=(x-4)(3x-1)+8x$$

$$$$$$5x^2-8=3x^2-x-12x+4+8x$$

$$$$$$5x^2-8=3x^2-13x+4$$

$$$$$$5x^2-8-3x^2+13x-4=0$$

$$$$$$2x^2+5x-12=0$$

$$$$$$D=25+4\cdot 2\cdot 12=25+96=121=\sqrt{121}=11.$$

$$$$$$x_1=\frac{-5-11}{2\cdot 2}=\frac{-16}{4}=-4,x_2=\frac{-5+11}{4}=\frac{6}{4}=1,5.$$

Ответ: $x=-4$; $x=1,5$.

№ 5.

$$x^2+2x+c=0,x_1=6;$$

$$$$$$x_1+x_2=-2x_1{x}_2=c$$

$$$$$$6+x_2=-26\cdot (-8)=c$$

$$$$$$x_2=-2-6c=-48.$$

$$$$$$x_2=-8.$$

Ответ: $c=-48$.

№ 6.

$$x^2-8x+c=0$$

$$$$$$D=16-c\mathrm{.}$$

Значит, при $c=20$ уравнение не имеет корней.
Ответ: 4).

№ 7.

$$(2x^2-3x+2)(2x^2-x-2)=0$$

$$$$$$2x^2-3x+2=0$$

$$$$$$D=9-4\cdot 2\cdot 2=9-16=-7<0\text{ — корней нет.}$$

$$$$$$2x^2-x-2=0$$

$$$$$$D=1+4\cdot 2\cdot 2=1+16=17>0\text{ — два корня.}$$

Ответ: 2 корня.

№ 8.

$$a{x}^2+c=0$$

$a>0$, $c=0$;

$$a{x}^2+0=0$$

$$$$$$a{x}^2=0\text{ — есть решение.}$$

$a>0$, $c<0$;

$$a{x}^2-c=0$$

$$$$$$a{x}^2=c\text{ — есть решение.}$$

$a<0$, $c<0$;

$$-a{x}^2⩾c$$

$$$$$$a{x}^2⩽-c\text{ — нет решения.}$$

$a<0$, $c>0$;

$$-a{x}^2+c=0$$

$$$$$$a{x}^2=c\text{ — есть решение.}$$

Ответ: 3).

№ 9.

$$2x^2=\frac{1}{2}\mathrm{\mid }\cdot 2$$

$$$$$$4x^2=1$$

$$$$$$x^2=\frac{1}{4}$$

$$$$$$x=\pm \frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Ответ: $x=\pm \frac{1}{2}$.

№ 10.

$$x^2=3x$$

$$$$$$x^2-3x=0$$

$$$$$$x(x-3)=0$$

$$$$$$x=0,x=3.$$

Ответ: $x=0$; $x=3$.

№ 11.

$$x-x^3=2x-5x^3$$

$$$$$$x-x^3-2x+5x^3=0$$

$$$$$$4x^3-x=0$$

$$$$$$x(4x^2-1)=0$$

$$$$$$x=0,4x^2=1$$

$$$$$$x^2=\frac{1}{4}$$

$$$$$$x=\pm \frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Ответ: при $x=\pm \frac{1}{2}$; $x=0$.

№ 12.
В квадратное уравнение вида $a{x}^4+b{x}^2+c=0$.
Ответ: 4).

№ 13.

$$x^4=8x^2+9$$

$$$$$$x^4-8x^2-9=0$$

Замена: $x^2=y$;

$$y^2-8y-9=0$$

$$$$$$D=16+9=25.$$

$$$$$$y_1{y}_2=-9,y_1+y_2=8;$$

$$$$$$y_1=9,y_2=-1.$$

Подставим:

$$x^2=9,x^2=-1\text{ — корней нет.}$$

$$$$$$x=\pm 3.$$

Ответ: $x=\pm 3$.

№ 14.

$$x^2+(m-n)x-mn=0$$

$$$$$$x_1{x}_2=-mn,x_1+x_2=-(m-n)=n-m;$$

$$$$$$x_1=-m,x_2=n\mathrm{.}$$

Ответ: 3).

№ 15.

$$2x^2+15x+25=0$$

$$$$$$D=225-4\cdot 2\cdot 25=225-200=25=\sqrt{25}=5.$$

$$$$$$x_1=\frac{-15-5}{2\cdot 2}=\frac{-20}{4}=-5,x_2=\frac{-15+5}{4}=\frac{-10}{4}=-\frac{5}{2}\mathrm{.}$$

$$$$$$2x^2+15x+25=2(x+\frac{5}{2})(x+5)=(2x+5)(x+5)\mathrm{.}$$

Ответ: 2).

№ 16.
Пусть меньшее число $x$, тогда большее число $x+5$.
Составим уравнение:

$$x+5+x^2=17$$

$$$$$$x^2+x+5-17=0$$

$$$$$$x^2+x-12=0.$$

Ответ: 2).

№ 17.

$$x^2+x-12=0.$$

$$$$$$D=1+4\cdot 12=49.$$

$$$$$$x_1{x}_2=-12,x_1+x_2=-1;$$

$$$$$$x_1=-4\text{ — меньшее число},x_2=3\text{ — меньшее число.}$$

$$$$$$x+5=-4+5=1\text{ — большее число};$$

$$$$$$x+5=3+5=8\text{ — большее число.}$$

Ответ: 3 и 8 или –4 и 1.

№ 18.

$$h=vt+5t^2;$$

Груз приземлится через:

$$120=10t+5t^2\mathrm{\mid }:5$$

$$$$$$t^2+2t-24=0$$

$$$$$$D=4+4\cdot 24=4+96=100.$$

$$$$$$t_1{t}_2=-24,t_1+t_2=-2;$$

$$$$$$t_1=-6\text{ — не подходит},t_2=4\text{ (сек)}\mathrm{.}$$

Ответ: 4).

№ 1.

Уравнение:

$$2x^2-13x+21=0$$

Находим дискриминант:

$$D=b^2-4ac=(-13{)}^2-4\cdot 2\cdot 21=169-168=1.$$

Находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{13-1}{4}=\frac{12}{4}=3,$$

$$$$$$x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{13+1}{4}=\frac{14}{4}=3,5.$$

Ответ:
$x=3$; $x=3,5$.

№ 2.

А) Уравнение:
$x^2+3x-10=0$

Находим дискриминант:

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot (-10)=9+40=49>0.$$

У уравнения два корня (корни рациональные).

Ответ: 2 корня.

Б) Уравнение:
$x^2-3x+3=0$

Находим дискриминант:

$$D=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot 3=9-12=-3<0.$$

У уравнения нет корней.

Ответ: Нет корней.

В) Уравнение:
$4x^2+4x+1=0$

Находим дискриминант:

$$D=4^2-4\cdot 4\cdot 1=16-16=0.$$

У уравнения один корень.

Ответ: Один корень.

Ответ:
А — 2); Б — 3); В — 1).

№ 3.

Уравнение:

$$\frac{x-2}{x^2+4x-21}=\frac{x-2}{(x+7)(x-3)}\mathrm{.}$$

Исходное выражение:

$$(x+7)(x-3)\mathrm{\ne }0,$$

Это означает, что:

$$x\mathrm{\ne }-7,x\mathrm{\ne }3.$$

Разлагаем $x^2+4x-21$:

$$x^2+4x-21=(x+7)(x-3)\mathrm{.}$$

Находим дискриминант для уравнения $x^2+4x-21=0$:

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot (-21)=16+84=100.$$

$$$$$$x_1{x}_2=-21,x_1+x_2=-4.$$

Корни уравнения:

$$x_1=-7,x_2=3.$$

Ответ: при $x=-7$ и $x=3$.

№ 4.

Уравнение:

$$5x^2-8=(x-4)(3x-1)+8x\mathrm{.}$$

Раскрываем правую часть:

$$(x-4)(3x-1)=3x^2-x-12x+4=3x^2-13x+4.$$

Подставляем в исходное уравнение:

$$5x^2-8=3x^2-13x+4+8x\mathrm{.}$$

$$$$$$5x^2-8=3x^2-13x+4+8x=3x^2-13x+4.$$

Преобразуем уравнение:

$$5x^2-8-3x^2+13x-4=0$$

$$$$$$2x^2+5x-12=0.$$

Находим дискриминант:

$$D=5^2-4\cdot 2\cdot (-12)=25+96=121.$$

$$$$$$\sqrt{121}=11.$$

Находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{-5-11}{2\cdot 2}=\frac{-16}{4}=-4,x_2=\frac{-5+11}{4}=\frac{6}{4}=1,5.$$

Ответ:
$x=-4$; $x=1,5$.

№ 5.

Уравнение:

$$x^2+2x+c=0,x_1=6.$$

Сумма корней и произведение корней:

$$x_1+x_2=-2,x_1{x}_2=c\mathrm{.}$$

Подставляем $x_1=6$:

$$6+x_2=-2\Rightarrow x_2=-2-6=-8.$$

Произведение корней:

$$6\cdot (-8)=c\Rightarrow c=-48.$$

Ответ:
$c=-48$.

№ 6.

Уравнение:

$$x^2-8x+c=0.$$

Дискриминант:

$$D=(-8{)}^2-4\cdot 1\cdot c=64-4c\mathrm{.}$$

У уравнения не будет корней, если дискриминант меньше нуля:

$$D=64-4c\text{при }c=20D=64-80=-16\text{нет корней}\mathrm{.}$$

Ответ: 4).

№ 7.

Уравнение:

$$(2x^2-3x+2)(2x^2-x-2)=0.$$

Раскроем скобки и решим для каждого множителя.

Первый множитель:

$$2x^2-3x+2=0,$$

$$$$$$D=(-3{)}^2-4\cdot 2\cdot 2=9-16=-7\text{нет корней}\mathrm{.}$$

Второй множитель:

$$2x^2-x-2=0,$$

$$$$$$D=(-1{)}^2-4\cdot 2\cdot (-2)=1+16=17\text{два корня}\mathrm{.}$$

Ответ:
2 корня.

№ 8.

Уравнение:

$$a{x}^2+c=0.$$

Случай 1:
$a>0$, $c=0$:

$$a{x}^2=0\text{решение есть}\mathrm{.}$$

Случай 2:
$a>0$, $c<0$:

$$a{x}^2=c\text{решение есть}\mathrm{.}$$

Случай 3:
$a<0$, $c<0$:

$$a{x}^2⩽-c\text{нет решения}\mathrm{.}$$

Случай 4:
$a<0$, $c>0$:

$$a{x}^2=c\text{решение есть}\mathrm{.}$$

Ответ: 3).

№ 9.

Уравнение:

$$2x^2=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Умножаем обе части на 2:

$$4x^2=1.$$

Находим $x^2$:

$$x^2=\frac{1}{4}\mathrm{.}$$

Находим корни:

$$x=\pm \frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Ответ:
$x=\pm \frac{1}{2}$.

№ 10.

Уравнение:

$$x^2=3x\mathrm{.}$$

Преобразуем уравнение:

$$x^2-3x=0,$$

$$$$$$x(x-3)=0.$$

Корни:

$$x=0,x=3.$$

Ответ:
$x=0$; $x=3$.

№ 11.

Уравнение:

$$x-x^3=2x-5x^3\mathrm{.}$$

Переносим все элементы в одну часть уравнения:

$$x-x^3-2x+5x^3=0.$$

$$$$$$-x^3+5x^3-x+2x=0.$$

$$$$$$4x^3-x=0.$$

Вынесем общий множитель:

$$x(4x^2-1)=0.$$

У нас есть два случая:

$x=0$,

$4x^2-1=0$, что дает:

$$x^2=\frac{1}{4},x=\pm \frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Ответ:
при $x=\pm \frac{1}{2}$; $x=0$.

№ 12.

Задание:
Решение квадратного уравнения вида $a{x}^4+b{x}^2+c=0$.

Это уравнение можно решить, сделав замену:

$$y=x^2\text{(тогда }{y}^2=x^4\text{)}\mathrm{.}$$

После замены уравнение примет вид:

$$a{y}^2+by+c=0.$$

Ответ будет зависеть от того, каковы $a$, $b$, и $c$, и их дискриминант.

Ответ: 4).

№ 13.

Уравнение:

$$x^4=8x^2+9$$

Преобразуем уравнение:

$$x^4-8x^2-9=0.$$

Выполним замену:

$$y=x^2\Rightarrow y^2-8y-9=0.$$

Находим дискриминант:

$$D=(-8{)}^2-4\cdot 1\cdot (-9)=64+36=100.$$

Находим корни:

$$y_1=\frac{-(-8)-\sqrt{100}}{2\cdot 1}=\frac{8-10}{2}=-1,$$

$$$$$$y_2=\frac{-(-8)+\sqrt{100}}{2\cdot 1}=\frac{8+10}{2}=9.$$

Подставляем обратно:

$x^2=-1$ — нет решения для $x$,

$x^2=9$, тогда $x=\pm 3$.

Ответ:
$x=\pm 3$.

№ 14.

Уравнение:

$$x^2+(m-n)x-mn=0.$$

Сумма и произведение корней:

$$x_1{x}_2=-mn,x_1+x_2=-(m-n)=n-m\mathrm{.}$$

Очевидно, что корни уравнения будут:

$$x_1=-m,x_2=n\mathrm{.}$$

Ответ:
3).

№ 15.

Уравнение:

$$2x^2+15x+25=0.$$

Находим дискриминант:

$$D={15}^2-4\cdot 2\cdot 25=225-200=25.$$

Находим корни:

$$x_1=\frac{-15-\sqrt{25}}{2\cdot 2}=\frac{-15-5}{4}=\frac{-20}{4}=-5,$$

$$$$$$x_2=\frac{-15+\sqrt{25}}{4}=\frac{-15+5}{4}=\frac{-10}{4}=-\frac{5}{2}\mathrm{.}$$

Разложим уравнение на множители:

$$2x^2+15x+25=2(x+\frac{5}{2})(x+5)=(2x+5)(x+5)\mathrm{.}$$

Ответ:
2).

№ 16.

Задание:
Пусть меньшее число $x$, тогда большее число $x+5$. Составим уравнение:

$$x+5+x^2=17.$$

Преобразуем уравнение:

$$x^2+x+5-17=0\Rightarrow x^2+x-12=0.$$

Находим дискриминант:

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot (-12)=1+48=49.$$

Находим корни:

$$x_1=\frac{-1-\sqrt{49}}{2\cdot 1}=\frac{-1-7}{2}=-4,$$

$$$$$$x_2=\frac{-1+\sqrt{49}}{2\cdot 1}=\frac{-1+7}{2}=3.$$

Ответ:
2).

№ 17.

Уравнение:

$$x^2+x-12=0.$$

Находим дискриминант:

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot (-12)=1+48=49.$$

Находим корни:

$$x_1=\frac{-1-\sqrt{49}}{2\cdot 1}=\frac{-1-7}{2}=-4,$$

$$$$$$x_2=\frac{-1+\sqrt{49}}{2\cdot 1}=\frac{-1+7}{2}=3.$$

Проверим, какое число больше:

• Если $x=-4$, то $x+5=1$,
• Если $x=3$, то $x+5=8$.

Ответ:
3 и 8 или -4 и 1.

№ 18.

Уравнение:

$$h=vt+5t^2\mathrm{.}$$

Груз приземлится через:

$$120=10t+5t^2\mathrm{\mid }:5\Rightarrow t^2+2t-24=0.$$

Находим дискриминант:

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot (-24)=4+96=100.$$

Находим корни:

$$t_1=\frac{-2-\sqrt{100}}{2}=\frac{-2-10}{2}=-6,$$

$$$$$$t_2=\frac{-2+\sqrt{100}}{2}=\frac{-2+10}{2}=4.$$

Так как время не может быть отрицательным, выбираем $t_2=4$.

Ответ:
4).