ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 570 Это Надо Знать Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1. Какое уравнение называется квадратным? Приведите пример. Назовите коэффициенты $a$, $b$, $c$ этого уравнения.

2. Запишите формулу корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

3. Сколько корней может иметь квадратное уравнение? Как это зависит от дискриминанта? Определите, сколько корней имеет уравнение:
а) $3x^2 — 7x — 4 = 0$;
б) $2x^2 + x + 2 = 0$;
в) $4x^2 — 4x + 1 = 0$.

4. Запишите формулу корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

5. Приведите пример неполного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx = 0$. Покажите на этом примере, как решаются уравнения такого вида. Сколько корней может иметь уравнение вида $ax^2 + bx = 0$?

6. Приведите пример неполного квадратного уравнения вида $ax^2 + c = 0$. Покажите на этом примере, как решаются уравнения такого вида. Сколько корней может иметь уравнение вида $ax^2 + c = 0$?

7. Сформулируйте теорему Виета. Чему равны произведение и сумма корней уравнения $x^2 — 27x + 180 = 0$?

8. Чему равны сумма и произведение корней неприведённого квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$? Определите знаки корней уравнения:
а) $3x^2 — 5x + 2 = 0$;
б) $2x^2 + 7x — 3 = 0$. В случае, если корни имеют разные знаки, определите модуль какого из них больше.

9. Приведите пример квадратного трёхчлена. Запишите формулу для разложения на множители квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$, корни которого равны $x_1$ и $x_2$. Разложите на множители многочлен $-2x^2 + x + 3$.

№ 1.
Квадратным уравнением называется уравнение вида

$$a{x}^2+bx+c=0,$$

где $a$, $b$ и $c$ — произвольные числа, причем $a\mathrm{\ne }0$.

Например:

$$3x^2-5x+12=0,$$

где $a=3$, $b=-5$, $c=12$.

№ 2.
Уравнение $a{x}^2+bx+c=0$ решается по формуле:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a},$$

где $D=b^2-4ac$.

№ 3.
Квадратное уравнение может иметь 2, 1 или 0 корней.

• При $D>0$ — два корня;
• при $D=0$ — один корень;
• при $D<0$ — корней нет.

Примеры:

• а) $3x^2-7x-4=0$$$D=(-7{)}^2-4\cdot 3\cdot (-4)=49+48=97>0\text{(два корня)}\mathrm{.}$$
• б) $2x^2+x+2=0$$$D=1^2-4\cdot 2\cdot 2=1-16=-15<0\text{(корней нет)}\mathrm{.}$$
• в) $4x^2-4x+1=0$$$D=(-4{)}^2-4\cdot 4\cdot 1=16-16=0\text{(один корень)}\mathrm{.}$$

№ 4.
Корни уравнения вида $a{x}^2+2kx+c=0$, где $k$ — целое число, удобнее вычислять по формуле:

$$x=\frac{-k\pm \sqrt{D}}{a},\text{где }D={\left(\frac{b}{2}\right)}^2-ac\mathrm{.}$$

№ 5.
Пример неполного квадратного уравнения вида $a{x}^2+bx=0$:

$$4x^2+16x=0$$

$$$$$$4x(x+4)=0$$

$$$$$$x=0,x+4=0\Rightarrow x=-4.$$

Ответ: $x=-4$; $x=0$.

Уравнение такого вида имеет либо два корня, либо один корень (если один из них равен нулю).

№ 6.
Пример неполного квадратного уравнения вида $a{x}^2+c=0$:

$$4x^2-16=0\Rightarrow 4x^2=16\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2.$$

Ответ: $x=\pm 2$.

Уравнение такого вида может иметь либо два корня, при $x^2>0$;
либо не иметь корней, при $x^2<0$.

№ 7.
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

$$x^2-27x+180=0$$

$$$$$$x_1{x}_2=180,x_1+x_2=27.$$

№ 8.
Для квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$:

$$x_1{x}_2=\frac{c}{a},x_1+x_2=-\frac{b}{a}\mathrm{.}$$

Примеры:

• а) $3x^2-5x+2=0$$$x_1{x}_2=\frac{2}{3},x_1+x_2=\frac{5}{3}\mathrm{.}$$$$x_1>0,x_2>0.$$
• б) $2x^2+7x-3=0$$$x_1{x}_2=-\frac{3}{2},x_1+x_2=-\frac{7}{2}\mathrm{.}$$
• $$$$$$x_1<0,x_2>0;\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }{x}_2\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

№ 9.
Пример квадратного трехчлена: $x^2+5x-4$.
Квадратный трехчлен $a{x}^2+bx+c$ можно разложить на множители:

$$a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\mathrm{.}$$

Пример:

$$-2x^2+x+3=0$$

$$$$$$D=1^2-4\cdot (-2)\cdot 3=1+24=25=\sqrt{25}=5.$$

$$$$$$x_1=\frac{-1-5}{-2\cdot 2}=\frac{-6}{-4}=\frac{3}{2},x_2=\frac{-1+5}{-4}=\frac{4}{-4}=-1.$$

$$$$$$-2x^2+x+3=-2(x-\frac{3}{2})(x+1)=(3-2x)(x+1)\mathrm{.}$$

№ 1.
Задание: Квадратным уравнением называется уравнение вида

$$a{x}^2+bx+c=0,$$

где $a$, $b$ и $c$ — произвольные числа, причем $a\mathrm{\ne }0$.

Решение:
Пример квадратного уравнения:

$$3x^2-5x+12=0,$$

где $a=3$, $b=-5$, $c=12$. Уравнение соответствует форме квадратного уравнения, так как в нем присутствуют члены с $x^2$, $x$ и константа.

№ 2.
Задание: Уравнение $a{x}^2+bx+c=0$ решается по формуле:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a},$$

где $D=b^2-4ac$.

Решение:
Это стандартная формула решения квадратного уравнения. Чтобы найти корни уравнения, нужно вычислить дискриминант $D$, который равен $D=b^2-4ac$, и затем подставить его в формулу для нахождения корней.

№ 3.
Задание: Квадратное уравнение может иметь 2, 1 или 0 корней.

• При $D>0$ — два корня;
• при $D=0$ — один корень;
• при $D<0$ — корней нет.

Решение:

• Пример а): $3x^2-7x-4=0$:$$D=(-7{)}^2-4\cdot 3\cdot (-4)=49+48=97>0\text{(два корня)}\mathrm{.}$$
• Пример б): $2x^2+x+2=0$:$$D=1^2-4\cdot 2\cdot 2=1-16=-15<0\text{(корней нет)}\mathrm{.}$$
• Пример в): $4x^2-4x+1=0$:$$D=(-4{)}^2-4\cdot 4\cdot 1=16-16=0\text{(один корень)}\mathrm{.}$$

№ 4.
Задание: Корни уравнения вида $a{x}^2+2kx+c=0$, где $k$ — целое число, удобнее вычислять по формуле:

$$x=\frac{-k\pm \sqrt{D}}{a},\text{где }D={\left(\frac{b}{2}\right)}^2-ac\mathrm{.}$$

Решение:
Для уравнения вида $a{x}^2+2kx+c=0$, формула для нахождения корней упрощается. Это связано с тем, что коэффициент при $x$ равен $2k$, и дискриминант $D$ можно выразить через $k$ и другие коэффициенты. Формула становится удобнее для вычислений, так как позволяет сразу подставить значения $b$ и $c$.

№ 5.
Задание: Пример неполного квадратного уравнения вида $a{x}^2+bx=0$:

$$4x^2+16x=0$$

$$$$$$4x(x+4)=0$$

$$$$$$x=0,x+4=0\Rightarrow x=-4.$$

Решение:
Данное уравнение можно решить через вынос общего множителя:

$$4x(x+4)=0.$$

Теперь у нас два возможных решения:

$$x=0\text{или}x+4=0\Rightarrow x=-4.$$

Ответ: $x=-4$; $x=0$.

Уравнение такого вида имеет либо два корня, либо один корень (если один из них равен нулю).

№ 6.
Задание: Пример неполного квадратного уравнения вида $a{x}^2+c=0$:

$$4x^2-16=0\Rightarrow 4x^2=16\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2.$$

Решение:
Решаем уравнение:

$$4x^2-16=0\Rightarrow 4x^2=16\Rightarrow x^2=4.$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$x=\pm 2.$$

Ответ: $x=\pm 2$.

Уравнение такого вида может иметь либо два корня, если $x^2>0$; либо не иметь корней, если $x^2<0$.

№ 7.
Задание: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

$$x^2-27x+180=0$$$$x_1{x}_2=180,x_1+x_2=27.$$

Решение:
Для уравнения $x^2-27x+180=0$ сумма корней равна $-(-27)=27$, а произведение корней равно $180$.

№ 8.

Задание:
Для квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$:

$$x_1{x}_2=\frac{c}{a},x_1+x_2=-\frac{b}{a}\mathrm{.}$$

Решение:

Давайте рассмотрим два примера для решения:

Пример а) $3x^2-5x+2=0$:

Сначала вычислим произведение корней:

$$x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}\mathrm{.}$$

Теперь вычислим сумму корней:

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{3}=\frac{5}{3}\mathrm{.}$$

Ответ:
Произведение корней: $x_1{x}_2=\frac{2}{3}$,
Сумма корней: $x_1+x_2=\frac{5}{3}$.

Пример б) $2x^2+7x-3=0$:

Произведение корней:

$$x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{-3}{2}\mathrm{.}$$

Сумма корней:

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{7}{2}\mathrm{.}$$

Ответ:
Произведение корней: $x_1{x}_2=-\frac{3}{2}$,
Сумма корней: $x_1+x_2=-\frac{7}{2}$.

№ 9.

Задание:
Пример квадратного трехчлена: $x^2+5x-4$.
Квадратный трехчлен $a{x}^2+bx+c$ можно разложить на множители:

$$a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\mathrm{.}$$

Решение:

Рассмотрим уравнение:

$$-2x^2+x+3=0.$$

Для начала находим дискриминант $D$.

Шаг 1: Находим дискриминант $D$

Используем формулу для дискриминанта:

$$D=b^2-4ac\mathrm{.}$$

В нашем уравнении $a=-2$, $b=1$, $c=3$. Подставим эти значения в формулу:

$$D=1^2-4\cdot (-2)\cdot 3=1+24=25.$$

Шаг 2: Находим корни

Так как дискриминант $D=25$ больше нуля, у нас два различных корня.

Теперь найдем сами корни по формуле:

$$x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a},x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\mathrm{.}$$

Подставим значения для $b=1$, $D=25$, $a=-2$:

Для $x_1$:

$$x_1=\frac{-1-\sqrt{25}}{2\cdot (-2)}=\frac{-1-5}{-4}=\frac{-6}{-4}=\frac{3}{2}\mathrm{.}$$

Для $x_2$:

$$x_2=\frac{-1+\sqrt{25}}{2\cdot (-2)}=\frac{-1+5}{-4}=\frac{4}{-4}=-1.$$

Шаг 3: Разложение на множители

Теперь мы знаем корни уравнения: $x_1=\frac{3}{2}$ и $x_2=-1$.

Мы можем разложить квадратный трехчлен на множители, используя найденные корни:

$$-2x^2+x+3=-2(x-\frac{3}{2})(x+1)\mathrm{.}$$

Приводим в более удобный вид:

$$-2x^2+x+3=(3-2x)(x+1)\mathrm{.}$$

Ответ:
Разложение на множители:

$$-2x^2+x+3=(3-2x)(x+1)\mathrm{.}$$