ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 570 Это Надо Уметь Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1. Решите уравнение:
а) $3x^2 + 5x — 2 = 0$;
б) $x^2 — 2x — 1 = 0$;
в) $4x^2 — 12x + 9 = 0$.

2. Вычислите дискриминант квадратного уравнения, определите: 1) имеет ли уравнение корни; 2) если имеет, то сколько; 3) рациональными или иррациональными числами являются корни:
а) $5x^2 — 11x + 2 = 0$;
б) $2x^2 — x — 2 = 0$;
в) $x^2 + 3x + 5 = 0$;
г) $9x^2 + 6x + 1 = 0$.

3. Решите уравнение:
а) $3x^2 = 2x + 4$;
б) $(x-1)(2x+3) = -2$;
в) $\frac{x^2 + 7}{2} = 4x$.

4. Вокруг детской площадки прямоугольной формы сооружён изгородь, длина которой равна $30$ м. Определите размеры площадки, если её площадь равна $50 \, \text{м}^2$.

5. Сумма $n$ последовательных натуральных чисел, начиная с $1$, вычисляется по формуле $A = \frac{n^2 + n}{2}$. Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с $1$, надо сложить, чтобы в сумме получить $55$?

№ 1.
а) $3x^2+5x-2=0$

$$D=25+4\cdot 3\cdot 2=49=\sqrt{49}=7.$$

$$$$$$x_1=\frac{-5-7}{2\cdot 3}=\frac{-12}{6}=-2,x_2=\frac{-5+7}{2\cdot 3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

Ответ: $x=-2$; $x=\frac{1}{3}$.

б) $x^2-2x-1=0$

$$D=4+4=8=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\mathrm{.}$$

$$$$$$x_{1,2}=\frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=\frac{2(1\pm \sqrt{2})}{2}=1\pm \sqrt{2}\mathrm{.}$$

Ответ: $x=1\pm \sqrt{2}$.

в) $4x^2-12x+9=0$

$$D=36-4\cdot 9=0.$$

$$$$$$x=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1,5.$$

Ответ: $x=1,5$.

№ 2.
а) $5x^2-11x+2=0$

$$D=121-4\cdot 5\cdot 2=81>0.$$

имеет корни;

два корня;

рациональные.

б) $x^2+3x+5=0$

$$D=9-4\cdot 5=9-20=-11<0.$$

корней нет;

в) $2x^2-x-2=0$

$$D=1+4\cdot 2\cdot 2=17>0.$$

имеет корни;

два корня;

иррациональные.

г) $9x^2+6x+1=0$

$$D=9-4\cdot 9\cdot 1=9-36=-27<0.$$

корней нет;

№ 3.
а) $3x^2=2x+4$

$$3x^2-2x-4=0$$

$$$$$$D=1+4\cdot 3=13=\sqrt{13}\mathrm{.}$$

$$$$$$x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{13}}{3}\mathrm{.}$$

Ответ: $x=\frac{1\pm \sqrt{13}}{3}$.

б) $(x-1)(2x+3)=-2$

$$2x^2+3x-2x-3+2=0$$

$$$$$$2x^2+x-1=0$$

$$$$$$D=1+4\cdot 2=9=\sqrt{9}=3.$$

$$$$$$x_1=\frac{-1-3}{2\cdot 2}=\frac{-4}{4}=-1;x_2=\frac{-1+3}{2\cdot 2}=\frac{2}{4}=0,5.$$

Ответ: $x=-1$; $x=0,5$.

в) $\frac{x^2+7}{2}=4x\mathrm{\mid }\cdot 2$

$$x^2+7=8x$$

$$$$$$x^2-8x+7=0$$

$$$$$$D=16-4\cdot 7=9.$$

$$$$$$x_1{x}_2=7,x_1+x_2=8;$$

$$$$$$x_1=7,x_2=1.$$

Ответ: $x=1$; $x=7$.

№ 4.
Пусть одна сторона площадки равна $x$ м, а вторая $30:2-x=15-x$ м.

Составим уравнение:

$$x(15-x)=50$$

$$$$$$15x-x^2-50=0$$

$$$$$$x^2-15x+50=0$$

$$$$$$D=225-4\cdot 50=225-200=25.$$

$$$$$$x_1{x}_2=50,x_1+x_2=15;$$

$$$$$$x_1=10\text{ (м)—однасторона},$$

$$$$$$x_2=5\text{ (м)—втораясторона}\mathrm{.}$$

Ответ: $10$ м и $5$ м.

№ 5.

$$A=\frac{n^2+n}{2};$$$$\frac{n^2+n}{2}=55\mathrm{\mid }\cdot 2$$$$n^2+n-110=0$$

$$$$$$D=1+4\cdot 110=441.$$

$$$$$$n_1{n}_2=-110,n_1+n_2=-1;$$

$$$$$$n_1=-11\text{ — не подходит},n_2=10\text{ — последовательных натуральных чисел, начиная с 1}\mathrm{.}$$

Ответ: $10$ чисел.

№ 1.

Задание:
а) $3x^2+5x-2=0$

Решение:

Находим дискриминант:

$$D=b^2-4ac=5^2-4\cdot 3\cdot (-2)=25+24=49.$$

Теперь находим корни уравнения по формуле:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\mathrm{.}$$

Подставляем значения:

$$x_1=\frac{-5-\sqrt{49}}{2\cdot 3}=\frac{-5-7}{6}=\frac{-12}{6}=-2,$$

$$$$$$x_2=\frac{-5+\sqrt{49}}{2\cdot 3}=\frac{-5+7}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

Ответ: $x=-2$; $x=\frac{1}{3}$.

б) $x^2-2x-1=0$

Решение:

Находим дискриминант:

$$D=b^2-4ac=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-1)=4+4=8.$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\mathrm{.}$$

Подставляем значения:

$$x_1=\frac{2-2\sqrt{2}}{2}=1-\sqrt{2},$$

$$$$$$x_2=\frac{2+2\sqrt{2}}{2}=1+\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Ответ: $x=1\pm \sqrt{2}$.

в) $4x^2-12x+9=0$

Решение:

Находим дискриминант:

$$D=b^2-4ac=(-12{)}^2-4\cdot 4\cdot 9=144-144=0.$$

Так как $D=0$, у уравнения есть только один корень:

$$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-12)}{2\cdot 4}=\frac{12}{8}=1,5.$$

Ответ: $x=1,5$.

№ 2.

Задание:

а) $5x^2-11x+2=0$

Решение:

Находим дискриминант:

$$D=b^2-4ac=(-11{)}^2-4\cdot 5\cdot 2=121-40=81>0.$$

Так как $D>0$, у уравнения два корня, и они рациональны. Ответ:

$$1)\text{имеет корни};2)\text{два корня};3)\text{рациональные}\mathrm{.}$$

б) $x^2+3x+5=0$

Решение:

Находим дискриминант:

$$D=b^2-4ac=3^2-4\cdot 1\cdot 5=9-20=-11<0.$$

Так как $D<0$, у уравнения нет корней. Ответ:

$$1)\text{корней нет}\mathrm{.}$$

в) $2x^2-x-2=0$

Решение:

Находим дискриминант:

$$D=b^2-4ac=(-1{)}^2-4\cdot 2\cdot (-2)=1+16=17>0.$$

Так как $D>0$, у уравнения два корня. Ответ:

$$1)\text{имеет корни};2)\text{два корня};3)\text{иррациональные}\mathrm{.}$$

г) $9x^2+6x+1=0$

Решение:

Находим дискриминант:

$$D=b^2-4ac=6^2-4\cdot 9\cdot 1=36-36=0.$$

Так как $D=0$, у уравнения есть один корень. Ответ:

$$1)\text{корней нет}\mathrm{.}$$

№ 3.

Задание:

а) $3x^2=2x+4$

Решение:

Преобразуем уравнение:

$$3x^2-2x-4=0.$$

Находим дискриминант:

$$D=(-2{)}^2-4\cdot 3\cdot (-4)=4+48=52.$$

Теперь находим корни:

$$x=\frac{-(-2)\pm \sqrt{52}}{2\cdot 3}=\frac{2\pm \sqrt{52}}{6}\mathrm{.}$$

Упростим $\sqrt{52}=2\sqrt{13}$:

$$x=\frac{2\pm 2\sqrt{13}}{6}=\frac{1\pm \sqrt{13}}{3}\mathrm{.}$$

Ответ: $x=\frac{1\pm \sqrt{13}}{3}$.

б) $(x-1)(2x+3)=-2$

Решение:

Раскроем скобки:

$$2x^2+3x-2x-3+2=0,$$

$$2x^2+x-1=0.$$

Находим дискриминант:

$$D=1^2-4\cdot 2\cdot (-1)=1+8=9.$$

Находим корни:

$$x_1=\frac{-1-\sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{-1-3}{4}=\frac{-4}{4}=-1,$$

$$$$$$x_2=\frac{-1+\sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{-1+3}{4}=\frac{2}{4}=0,5.$$

Ответ: $x=-1$; $x=0,5$.

в) $\frac{x^2+7}{2}=4x\mathrm{\mid }\cdot 2$

Решение:

Умножим обе части на 2:

$$x^2+7=8x\mathrm{.}$$

Преобразуем уравнение:

$$x^2-8x+7=0.$$

Находим дискриминант:

$$D=(-8{)}^2-4\cdot 1\cdot 7=64-28=36.$$

Находим корни:

$$x_1=\frac{8-\sqrt{36}}{2}=\frac{8-6}{2}=1,$$

$$$$$$x_2=\frac{8+\sqrt{36}}{2}=\frac{8+6}{2}=7.$$

Ответ: $x=1$; $x=7$.

№ 4.

Задание:

Пусть одна сторона площадки равна $x$ м, а вторая $30:2-x=15-x$ м.

Составим уравнение:

$$x(15-x)=50,$$

$$$$$$15x-x^2-50=0,$$

$$$$$$x^2-15x+50=0.$$

Находим дискриминант:

$$D=225-4\cdot 50=225-200=25.$$

Находим корни:

$$x_1=\frac{15-\sqrt{25}}{2}=\frac{15-5}{2}=5,$$

$$$$$$x_2=\frac{15+\sqrt{25}}{2}=\frac{15+5}{2}=10.$$

Ответ: 10 м и 5 м.

№ 5.

Задание:

$$A=\frac{n^2+n}{2};$$

$$$$$$\frac{n^2+n}{2}=55\mathrm{\mid }\cdot 2$$

$$$$$$n^2+n-110=0.$$

Находим дискриминант:

$$D=1+4\cdot 110=441.$$

Находим корни:

$$n_1=\frac{-1-\sqrt{441}}{2}=\frac{-1-21}{2}=-11,n_2=\frac{-1+\sqrt{441}}{2}=\frac{-1+21}{2}=10.$$

Так как $n$ должно быть натуральным числом, выбираем $n_2=10$.

Ответ: 10 чисел.